选择性必修第二册综合测试-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）

北师大版（2019）选择性必修第二册综合测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B C B B C A D BC BCD ACD 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是等差数列，，则（ ） A. 0 B. 5 C. 10 D. 15 【解析】A 设等差数列的公差为， 由可得，，① 又由可得，，即，② 由①②解得， 所以. 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【解析】B 因为， 所以， 所以． 3. 曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为 A. B. C. 和 D. 【解析】C 因，令，故或，所以或，经检验，点，均不在直线上. 4. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【解析】B 设等比数列的公比为，则， 上述两个等式相除得，整理可得， 因为，解得，故. 5. “”是“函数为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】B 若函数单调递增，有恒成立， 可得，解得：， 因为，但， 所以“”是“函数为增函数”的必要不充分条件. 6. 已知数列满足：，对任意的、恒成立，若，则（ ） A. B. C. D. 【解析】C 不妨取，可得， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则， 所以，， 整理可得，解得. 7. 函数，，若有极大值点，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【解析】A 设，则 ，则 ， 因为有极大值点， 即在x=1的附近两侧，应满足时，， 当 时，， 即在x=1的附近两侧， 时，直线 在曲线下方， 时，直线 在曲线上方，如图所示： 因为，所以在处的切线斜率为 ， 结合图象可得 ，实数的取值范围是. 8. “曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义为：如果在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，那么称为、两点间的“曼哈顿距离”．已知为常数，动点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【解析】D 由题意得，，令，则，， 令，则， 当时，在上单调递减，故当时，取到最小值； 当，，在上单调递增，； 当时，在上单调递增，故当时，取到最小值， 综上，的最小值． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. 已知函数在上可导，若，则 C. 已知函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 【解析】BC 对于A，，A错误； 对于B，由导数定义知，B正确； 对于C，，则， 由，得，解得或(舍去)，C正确； 对于D，由，得， 故，D错误. 10. 函数 ，则下列说法正确的是 （ ） A. 当 时， 的极小值为 B. 为奇函数 C. 当 时， 一定有三个零点 D. 若直线 与 有三个交点 ，则 【解析】BCD 对于A，当时，，求导得， 当时，，当时，，为极大值，A错误； 对于B，令，则， 函数是奇函数，B正确； 对于C，，当时，令的二根， ，当或时，；当时，， 函数在上递增，在上递减，， 由三次函数的图象特征知，函数的图象与轴有3个交点，C正确； 对于D，由选项B知，函数的图象关于点对称，而直线关于点对称， 因此函数的图象与直线的3个交点关于点对称， 其交点的横坐标满足，D正确. 11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数；第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数．记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则（ ） A. B. 1275既是三角形数，又是正方形数 C. D. ，总存在，使得成立 【解析】ACD 对于A，因为， 所以， 当时也满足上式，所以， 所以，故A正确； 对于B，由得，，即， 解得，故1275是三角形数的第50项，但1275不是完全平方数，故B错误； 对于C，，其中， 所以当时， ，当或时不等式显然成立，故C正确： 对于D，，所以， 故，总存在，使得成立，故D正确． 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图象在处的切线方程是____________． 【解析】由已知，得，所以， 所以所求切线方程为，即. 13. 若函数使得数列（，）为严格递增数列，则称函数为“数列的保增函数”．已知函数为“数列的保增函数”，则实数的取值范围为__________． 【解析】由题意可得，, ， 即， 即对恒成立， 由于函数在上单调递增，所以， 所以 所以. 14. 已知函数和的图像有交点，则取最小值时，的值为________． 【解析】因为函数和的图像有交点， 所以有零点， 设零点为t，则，即， 设点是直线l：上任意一点， 则原点到直线的距离为，所以原点到点P的距离有， 设，则，， 当时，，在上递减； 当时，，在上递增， 所以，由，解得， 所以直线的斜率为，所以. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的极值； （2）若，讨论的零点个数． 【解析】（1）由题意，，则. 所以，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在处取得极大值，在处取得极小值. （2）由题意，， 令，则. 设，则 所以，当时，，单调递增； 当或时，，单调递减. 所以，在处取得极小值，在处取得极大值. 如图， 所以，当或时，函数有1个零点； 当或时，函数有2个零点； 当时，函数有3个零点 16. 已知数列满足． （1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【解析】（1）证明：因为，所以， 所以． 因为，所以， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，即． （2）因为， 所以． 其中． 令， ， 两式相减，得． 所以， 所以． 17. 如图所示，是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得，，，四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，，在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设． （1）求包装盒的容积关于的函数表达式，并求出函数的定义域； （2）当为多少时，包装盒的容积最大？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 【解析】（1）设包装盒的高为, 底面边长为, 则 所以 其定义域为 （2）由,可得, 当时,;当时,; 当时,取得极大值也是最大值:. 当时, 包装盒的容积最大是 18. 数列的前n项和为，数列满足，且数列的前n项和为． （1）求，并求数列的通项公式； （2）抽去数列中点第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，数列的前n项和为，求证：． 【解析】（1）由题意得，① 当时，；当时，； 当时，，② ①②得，， 当时，，也适合上式，所以，所以， 两式相减得， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以． （2）数列为：，所以奇数项是以4为首项，8为公比的等比数列，偶数项是以8为首项，8为公比的等比数列． 所以当时， 所以， 所以，显然是关于k的减函数，所以； 所以当时， 所以， 所以，显然是关于k的减函数，所以； 综上所述，． 19. 已知函数，过点作曲线的切线，交轴于点，若，则过点作曲线的切线，交轴于点，以此类推，得到数列. （1）当正整数，试求出与的关系式； （2）当正整数. ①证明：； ②是否存在正整数()，使得依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，试说明理由. 【解析】（1）由，得， 当时，曲线在处的切线方程为， 令，则， 所以()； （2）由（1）得，所以当时，， 令，则， 令，则，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， ①因为，所以，即当时，. ②假设存在正整数，使得依次成等差数列， 则公差，由①得. 又由得， 而，所以，即. 令，则，显然， 则在上单调递增，且，， 所以函数在上必有唯一零点. 又，故仅存在成等差数列. 故. ( 第 1 页 共 14 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版（2019）选择性必修第二册综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：北师大版（2019）选择性必修第二册全册. 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是等差数列，，则（ ） A. 0 B. 5 C. 10 D. 15 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 3. 曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为 A. B. C. 和 D. 4. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. “”是“函数为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知数列满足：，对任意的、恒成立，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数，，若有极大值点，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. “曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义为：如果在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，那么称为、两点间的“曼哈顿距离”．已知为常数，动点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. 已知函数在上可导，若，则 C. 已知函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 10. 函数 ，则下列说法正确的是 （ ） A. 当 时， 的极小值为 B. 为奇函数 C. 当 时， 一定有三个零点 D. 若直线 与 有三个交点 ，则 11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数；第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数．记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则（ ） A. B. 1275既是三角形数，又是正方形数 C. D. ，总存在，使得成立 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图象在处的切线方程是____________． 13. 若函数使得数列（，）为严格递增数列，则称函数为“数列的保增函数”．已知函数为“数列的保增函数”，则实数的取值范围为__________． 14. 已知函数和的图像有交点，则取最小值时，的值为________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的极值； （2）若，讨论的零点个数． 16. 已知数列满足． （1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17. 如图所示，是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得，，，四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，，在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设． （1）求包装盒的容积关于的函数表达式，并求出函数的定义域； （2）当为多少时，包装盒的容积最大？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 18. 数列的前n项和为，数列满足，且数列的前n项和为． （1）求，并求数列的通项公式； （2）抽去数列中点第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，数列的前n项和为，求证：． 19. 已知函数，过点作曲线的切线，交轴于点，若，则过点作曲线的切线，交轴于点，以此类推，得到数列. （1）当正整数，试求出与的关系式； （2）当正整数. ①证明：； ②是否存在正整数()，使得依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，试说明理由. ( 第 1 页 共 14 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$