2025年高考数学二轮复习重点专题突破·椭圆双曲线的焦点三角形（全国通用）

NO 高考二轮复习专题· 椭圆、双曲线的 焦点三角形 目录 CONTENTS 1 知识梳理·温故知新 2 典例分析·能力提升 3 真题演练·高分突破 1 知识梳理·温故知新 1,椭圆的焦点三角形 如图所示P为椭西后+ =1(a>b>0)上不同于长轴两端点的任意一点， F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，设P(xo,yo)o≠±a),∠FPF2=0. (1)①当P为短轴端点时，日最大. 2s△PF,F2=7PF·PFasin8=btan2 sin =b1+cos日 =cbol,当yo =b,即P为短轴端点时，S△PFF2取最大值，最大值为bc. 3焦点三角形的周长为2(a+c). 2b2 ④PF1IPF2=1+cos (2)假设焦点△PFF2的内切圆半径为r,则S△PFF=(a+c)r. (3)P7·P72=b2-c2+ex2. 由于x02∈[0，a,故我们有P序·P72=b2-c2+e2x2∈[b2-c2,b 2.双曲线的焦点三角形 如图所示，P是双曲线若 -若=1a>0,b>0上不同于实 轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点： b2 (1)设∠FPF2=0,则S△PF1F2= tan 2 (2)若I为△PFF2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标的绝对值为定值α. (3)若AB是过F的弦，则AF2+BF2-AB=4a. 2 典例分析·能力提升 典例一 焦点三角形的面积 例 (1)2024沧州质检)已知P是椭圆5x2+9y2=45上一点，且在x轴上 方，F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF的斜率为-3，则△PFF2的 53 面积为 【解析】 由题可知F2(2,0),则直线PF2的方程为y=一V3(x一2)，代 入撰圆方程5+9=45中，消去x得322-205)y一75=0，解待%-55 或p=-53 (合).则5△PF=号·FFn=号×4×593-9 ②2024-江西九江三模尼知椭圆C:芳+片 =1(a>b>0)的左、右焦点分别 π 为F1,F,过F且倾斜角为6 的直线交C于第一象限内一点A若线段AF的 中点在y轴上，△AFF2的面积为2V3,则C的方程为( =1 c+号-1 =1 【解析】设B为AF的中点，，原点O为线段上2的中点，B为线段 AF1的中点，∴.OB∥AF2,又OB⊥x轴，.AF2⊥x轴. 在R△A,R中，∠AF,B=石，设MF=C0,则AFI=2,F,F=5 t. :△AFF2的面积为23， 3x51x1=23,=2 ..2a=AF+AF2=3t=6,a=3, 2=FF=5=2W5,c=5,=2-2-6,则C的方程为号+若 1.故选D.