圆中求阴影面积和圆中定值问题模型练-2025年中考数学二轮复习备考

圆中求阴影面积和圆中定值问题 一、单选题 1．如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 4．如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 5．如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 6．如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接． (1)填空： °； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积． 7．如图，已知是的弦，点、是上的两个点，交于点，连结，． (1)求证：点是的中点． (2)若，求的值． (3)若，则的值是否为定值？如果是，请求出其值；如果不是，请说明理由． 8．如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)若，点P在劣弧上运动的过程中， ①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围． ②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围． 9．如图，，是的两条直径，AB⊥CD，点E是上一动点（点E不与B，D重合），，分别交，G，连接．设的半径为r，． ​ (1) （用含α的代数式表示）； (2)当时，求证：； (3)判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 10．如图1，点为轴正半轴上一点，交轴于两点，交轴于两点，点为劣弧上一个动点，且． (1)如图1，连结，取中点，连结，则的最大值为________； (2)如图2，连接．若平分交于点，求的长； (3)如图3，连接，当点运动时（不与两点重合），求证：为定值，并求出这个定值． 11．已知内接于． (1)如图1，过点作于点，交于点，过点作于点，交于点，试探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在（1）的条件下，过点作于点，试证明：； (3)如图3，作的角平分线交圆于点，若点为劣弧上一动点，连接，过点作于点，试猜想的值是否是定值，如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． 12．综合运用 如图，直线与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C的坐标为，点P是线段上一点且点P与点O不重合．过A、O、P三点的圆与直线交于点D．连接交圆于点E． (1)求的度数； (2)当和相似时，求点P的坐标； (3)设点P的横坐标为m，的值是定值吗？若是，求出该定值；若不是，用含m的式子表示． 参考答案 1．A 解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到． ， ， 在菱形中，点O是对角线的中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：A． 2．A 解：如图：连接，作于点B， ∵， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴ ∴, ∴． 故选：A． 3． 解：∵以点为圆心，长为半径作弧交于点，，， ∴， ∴以为直径作半圆时，圆心为点， 设弓形，连接，，即，如图： ∴为等边三角形， ∴， 故阴影部分面积为， 代入数值可得， 故答案为． 4．(1)见解析 (2) （1）证明：连接，交于点， ， ， 又为的内心， ， ， ∴， 又为的直径， ， 又为的切线且为的半径， ， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ， ． 5．(1)见解析 (2) （1）证明：连接， ∵， ∴， ∵沿直线翻折得到， ∴，， ∵是的半径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴于点C， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．(1)30 (2)与相切，理由见解析 (3) （1）解：弦于，是的直径， ， ， 故答案为：30； （2）解：与相切， 理由如下： 连接，如图所示： 弦于，是的直径， ，， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （3）解：是的直径， ， ，， ， ， 连接，如图所示： 点是的中点， ， ， 是的中位线， ，， ， ， ， 图中阴影部分的面积的面积扇形的面积的面积． 7．(1)见解析 (2) (3) （1）证明：∵，， 又， ∴， ∴， ∴是的中点； （2）解：如图所示，过点作交的延长线于点，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴， （3）解：结论：，的值不变． 理由：如图，连接，，C交于，过点作交的延长线于点， ∵，， ∴,，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴． 8．(1) (2)7 (3)①；②的值是定值96． （1）解：∵是等边三角形 ∴ ∵四边形内接于 ∴； （2）如图所示，延长到点F使， ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在和中 ∴ ∴； （3）①由（2）可得， ∵点P在劣弧上运动 ∴当点P和点A或点B重合时，的长度最小，即或的长度 ∵是等边三角形 ∴ ∴的最小值为 ∴的最小值为； 当点P，O，C三点共线时，的长度最大，如图所示， ∴此时是的直径 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，负值舍去 ∴的最大值为8 ∴的最大值为8； ∴的值的取值范围是； ②如图所示，延长到点F使，过点A作 由（2）得，是等边三角形 ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ． ∴的值是定值96． 9．(1)； (2)见解析； (3)是定值， （1）解：， ，， ， ∴， ， ∴， , 故答案为：． （2）解：证明：连接OE， ∵． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：是定值，， 由题意知，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 10．(1)2 (2) (3)见解析， （1）解：由题可知，为直径，且， 由垂径定理可得，， 连接， 是的中点， ， 当三点共线时，此时取得最大值， 且， 的最大值为； 故答案为：2． （2）解：连接， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ；     （3）证明：由题可得，直径， 垂直平分， 如图4，连接，，则， 由（1）得， 将绕A点顺时针旋转至， ， ，， 四边形为圆内接四边形， ， ， 、D、P三点共线， ， 过A作于G，则， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， 为定值． 11．(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)的值是定值，定值为2． （1）解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点C作直径，连接，    ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴，即； （3）解：的值是定值，定值为2， 在上截取，连接，，，，    ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．(1) (2) (3)是， （1）解：当时，， 当时，， ∴， ． ， ， ， ， ； （2）①如图，当时，连接， ∴， ． ， 为直径， ， ， ， 设，则， ， ，且 ， ， 等腰中，， ， 点坐标为 ②如图，当时，则， ． 由（1）可得： 又， 点与点重合．不符合题意，舍去． 综上所述，点坐标为． （3）的值不变， 理由如下：连接，依题意得，， ， 则， ， ， ， 又， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$