相似三角形公共边公共角和一线三等角常见题型模型练-2025年中考数学二轮复习备考

相似三角形公共边公共角和一线三等角 一、解答题 1．如图1，在中，为中线，点在的延长线上，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，若，求的长． 2．如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，交于点F，已知． (1)求证：； (2)若，求的长． 4．如图，在菱形中，，点为上一点，将沿翻折，点A落在处，连接并延长交于点，若，求的长． 5．如图，在中，，，点，在边上，，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 6．在中，点，分别在边，上，连接，交于点，且， (1)求证：： (2)当为边的中点时，且， ①若，求； ②若为等腰直角三角形，且，求四边形的面积． 7．如图，已知：正方形ABCD中，一个以点A为顶点的∠EAF＝45°绕着点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，联结EF． (1)如图1，若∠EAF被对角线AC平分时，求证：CE＝CF． (2)如图2，求证：CE•CF＝2AB2． 8．如图，点E是正方形的对角线延长线上一点，连接，将绕点B顺时针旋转至，连接，交于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，点G为的中点，求的长． 9．如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转60°，分别交边于点，交对角线于点. (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，，求及的长； (3)若，求的值. 10．如图1，已知点为正方形内的一点，连接．将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，． (1)如图1，直接写出线段与的关系； (2)如图2，点为正方形外的一点，将绕点逆时针方向旋转得到，连接，，探究线段与的关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，点为外一点，且，点为的中点，连接，，，若，，求的面积． 参考答案 1．(1)见解析 (2) (3) （1）证明：∵，， ∴； （2）解：如图1，过点C作交于点G，则，， ∵是中线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2，过点C作交于点H． 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得（舍去）或， ∴． 2．(1)见详解 (2) （1）证明：， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ． （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 3．(1)见解析 (2)． （1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4． 解：过点作，交CD于点G，延长交CD于点H． 得：， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点A落在处， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．(1)见解析； (2)见解析； (3) （1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴=， ∴； （2）证明：如图，过点A作，交的延长线于点G． 则，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴． 由，可设，则， ，， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过点A作于点H，则， 设，则， 在中，， 解得（舍去）或， ∴， ∴， ∴． 6．(1)见解析 (2)①；② （1）证明：，， 又， 且， ， ， 即：； （2）解：①过点做， 设，则， 又为中点且， ． ， ， ，， 又， ， 解得：； ②过点做，垂足为点， 为等腰直角三角形， 且， ， ， 又， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ． 7．(1)见解析 (2)见解析 （1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCA＝∠DCA＝45°， ∵∠BCF＝∠DCE， ∴∠BCF＋∠ACB＝∠DCE＋∠DCA， ∴∠ACF＝∠ACE， ∴AC平分∠EAF， ∴∠EAC＝∠FAC， ∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF（ASA）， ∴CE＝CF； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴AC＝AB， ∵∠EAF＝45°， ∴∠FAC＋∠EAC＝45°， ∵∠ACB是△ACE的一个外角， ∴∠ACB＝∠CAE＋∠AEC＝45°， ∴∠AEC＝∠FAC， 由（1）得：∠ACF＝∠ACE， ∴△ECA∽△ACF， ∴＝， ∴AC2＝CE•CF， ∴（AB）2＝CE•CF， ∴CE•CF＝2AB2． 8．(1)证明见解析 (2) （1）证明：∵四边形是正方形， ， ， ∵将绕点B顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ． （2）解：∵正方形的边长为4，点G为的中点， ， ， ， ， ， ， 的长是． 9．(1)等边三角形，理由见解析 (2)， (3)的值为或 （1）在菱形中，， ∴，， ∴是等边三角形． （2）过B点作，垂足为P， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将射线绕点逆时针旋转60°，得到线段， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． （3）设，， 如图，过E点作交于H， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴， 当时，， 当时，， ∴的值为或． 10．(1)，理由见详解 (2)，理由见详解 (3)的面积为 （1）解：，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将线段绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，线段与的关系为：； （2）解：，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将线段绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图所示，设与于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，线段与的关系为：； （3）解：如图所示，过点作交延长线于点，连接，过点作于点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，即， ∴，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $$