函数与导数：恒成立问题、能成立问题、零点问题专项训练-2025届高三数学二轮复习

函数与导数：恒成立问题、能成立问题、零点问题专项训练 函数与导数：恒成立问题、能成立问题、零点问题专项训练 考点一 恒成立问题 1．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）已知函数， (1)求的极值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； 2．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）设函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 3．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数. (1)当时，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； (2)若对，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求的最小值. 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值． (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 6．（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 7．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若恒成立，求的取值范围. 8．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）设函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若关于的方程有三个不同实根，求实数的取值范围； (3)已知当时，恒成立，求实数的取值范围. 考点二 能成立问题 1．（2025·河北张家口·一模）已知，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，使，求的取值范围. 2．（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习）已知实数，设． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围． 3．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）已知函数 (1)若直线与曲线相切，求a的值； (2)若存在，使得，求a的取值范围． 4．（2025·陕西·一模）已知，函数在处取得极值． (1)求a； (2)证明：对任意的m，，都有； (3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 5．（2025·新疆喀什·二模）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 6．（2025·江西·一模）已知函数， (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，讨论函数的单调性； (3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围． 考点三 零点问题：已知零点数量求参数 1．（2025·北京石景山·一模）已知函数． (1)若， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）证明：函数在区间上有且只有一个零点． (2)若实数使得对恒成立，求的取值范围． 2．（24-25高三下·天津河西·开学考试）已知四数． (1)求在处的切线方程； (2)证明：函数只有一个零点； (3)当时，函数恒成立，求a的取值范围． 3．（2025·北京·模拟预测）已知函数. (1)若函数的极值点在内，求m的取值范围； (2)若有两个零点，求m取值的范围. 4．（24-25高二下·天津河东·阶段练习）已知函数 (1)当 时，求函数的单调区间； (2)若函数 在区间 上有1个零点，求实数k的取值范围； (3)若 在 上恒成立，求出正整数k的最大值； 5．（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在上的函数. (1)若，判断是否存在极小值点，并说明理由； (2)若存在两个零点，求的取值范围. 6．（2025·山东·一模）已知函数． (1)当时，求函数的零点个数； (2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围． 考点四 零点问题：讨论零点数量 1．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数 (1)若函数在处取得极小值，求实数a，b的值； (2)求的单调区间； (3)已知，且函数的极大值是1，讨论函数的零点个数． 2．（2025·四川巴中·一模）已知函数. (1)求函数的极值； (2)求证：当时，； (3)若.其中.讨论函数的零点个数. 3．（2025·重庆·模拟预测）已知函数，，. (1)证明：. (2)讨论函数在上的零点个数. (3)当，时，证明：，. 4．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)讨论的零点个数，并证明. 5．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若，讨论函数的零点个数. 6．（2025·广东湛江·一模）已知函数，其中． (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，试判断的零点个数并证明． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数与导数：恒成立问题、能成立问题、零点问题专项训练 函数与导数：恒成立问题、能成立问题、零点问题专项训练 考点一 恒成立问题 1．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）已知函数， (1)求的极值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)答案见解析 (2). 【详解】（1）， 当恒成立，无极值； 当时，令，解得， 当，，所以在单调递减； 当，，所以在上单调递增； 所以极小值为；无极大值， 综上可知，时，函数无极值，当时，函数的极小值为；无极大值. （2）因为对任意的恒成立 即对任意的恒成立 设，注意到， ，今 则在为增函数，且， 所以恒成立，即单调递增， 其中， 若，则恒成立，此时单调递增，又， 所以恒成立， 即在上恒成立，即结论成立； 若，则， 又， 故由零点存在性定理可知，在内存在，使得， 当时，，所以单调递减，又， 所以当时，，即，不合题意，舍去； 综上：实数的取值范围是. 2．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）设函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由，则 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，解得， 时，，则在上单调递增； 时，，则在上单调递减． （2） 由题意恒成立， 因为，即得恒成立，即，， 记则， 令，得，令，得，即在上单调递减， 令可得，即在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为． 3．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数. (1)当时，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； (2)若对，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求的最小值. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1），则， 令得，即在递减； 令得，即在递增， 故最小值为， ①当，即时，恒成立，故无零点，不满足题意； ②当，即时，当时恒成立，故有1个零点，不满足题意； ③当，即时，，且，（或者时，）， 由零点的存在性定理可知在上有1个零点， 又，则， 则在上递增，上递减， 则，即，则，当且仅当时取等， 则，（或者时，）， 故由零点的存在性定理可知在上有1个零点，即在上有两个零点， 综上：有两个零点，则. （2），则， 令，则， ①当时，， 的最小值为，的最小值为； ②当时，，则在递减，且时，， 故不能恒成立； ③当时，令可得，即在上递增， 令可得，即在上递减， 故， 则， 故， 令，故， 令， 则， 令可得，即在递减； 令可得，即在递增则， 则的最小值为，当且仅当时取得等号. 综上可知，的最小值为. 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值． (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）因为，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 函数的极大值为，极小值为. （2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且， 故当时，， 因为对恒成立，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 当时，， 故， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由（1）得， 因为所以由得 所以当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围为 6．（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析. (2) 【详解】（1）因为（）. 所以. 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，由；由， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上可知：当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，不等式可化为：在上恒成立. 所以在上恒成立. 设（），则. 由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 所以. 所以实数的取值范围为：. 7．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【详解】（1）依题意，，定义域为， ， 令得， 当时，，所以函数在上单调递减，； 当时，，所以函数在上单调递增. 故函数有极小值，极小值为，无极大值. （2）因为，即恒成立， 令， 则. 令， 则，即在上单调递减. 又，故当时，，所以函数在上单调递增； 当时，所以函数在上单调递减， 所以， 又恒成立，即， 所以的取值范围是. 8．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）设函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若关于的方程有三个不同实根，求实数的取值范围； (3)已知当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在和单调递增，在单调递减 (2) (3) 【详解】（1）的定义域为R，， 今得或，令得， 在和单调递增，在单调递减. （2）由（1）可知为的极大值点，为的极小值点， 的图象如图所示， 由图可知，若关于的方程有三个不同实根，则 （3）时，恒成立， 即在恒成立， 今，则， 等价于 ，且开口向上， 在单调递增． 考点二 能成立问题 1．（2025·河北张家口·一模）已知，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，使，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）时，， 所以，所以切线斜率， 所以曲线在处的切线方程为即. （2）因为，使得即， 所以，令，则， 所以在上恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，所以在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以， 所以. 2．（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习）已知实数，设． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， ，， 所以，则. 故点处的切线方程为，即. （2）由已知有，令，解得或，列表如下： 所以的单调增区间是，单调减区间是和， 当时，取极小值，当时，取极大值， 由知，当时，，当时， 因为对于任意的，总存在，使得， 当时，不成立，故，所以，所以. 设集合集合 则“对于任意的，都存在，使得”等价于. 下面分两种情况讨论： 当即时，有且此时在上单调递减，的值域为， 故，，所以A不是B的子集. 当即时，有且此时在上单调递减，故，因而， 由有在上的值域为，所以，所以满足题意. 综上，的取值范围为 3．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）已知函数 (1)若直线与曲线相切，求a的值； (2)若存在，使得，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）∵，∴． 设切点为，则，即，解得． （2）当时，由得，∴的定义域为． 由得，当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减． ∴． ∵存在，使得，∴，结合，解得． 当时，由得，∴的定义域为． 由得，当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减． ∴． ∵存在，使得，∴，结合，解得． 综上，的取值范围为． 4．（2025·陕西·一模）已知，函数在处取得极值． (1)求a； (2)证明：对任意的m，，都有； (3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)5． 【详解】（1）， 因为在处取得极值， 所以，所以， 解得． 经验证当时，在处取得极小值，符合题意， 故． （2）对任意的m，，设，则， 由（1）知，则在上单调递增， 所以当时，，即，所以在上单调递增， 因为，所以，即， 故． （3）存在实数，使得成立，即成立． 令，，则，， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增． 又，， 故存在唯一的，使得，即． 当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，结合，得， 故k的最小整数值为5． 5．（2025·新疆喀什·二模）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【详解】（1）当时，， 则， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，函数取得极大值， 时，函数取得极小值. （2）由，， 则， 当时，，此时，函数在上单调递增， 则，即； 当时，， 则时，；时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，与矛盾，不符合题意； 当时，，此时，函数在上单调递减， 则，即恒成立，符合题意. 综上所述，的取值范围为． 6．（2025·江西·一模）已知函数， (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，讨论函数的单调性； (3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，. （2）因为，其中， 则， 当时，即当时，由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，即当时， 由可得，由可得或， 此时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，即当时，对任意的，， 此时，函数的增区间为，无减区间； 当时，即当时， 由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为、，减区间为. 综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. （3）由（2）可知，当时，函数在上单调递增，则，不合乎题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， （i）若，则时，则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 设，其中，则， 所以，函数在上单调递减，则，合乎题意； （ii）若，即当时，函数在上单调递减， 所以，，解得， 因为，则. 综上所述，实数的取值范围是. 考点三 零点问题：已知零点数量求参数 1．（2025·北京石景山·一模）已知函数． (1)若， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）证明：函数在区间上有且只有一个零点． (2)若实数使得对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)（i）；（ii）证明见解析 (2) 【详解】（1）（i）当时，则， 又，则， 所以函数在点处的切线方程为； （ii）因为，，令，，则， 当时，所以，所以即在上单调递减， 又，所以，所以在上单调递增， 又，当时，，所以， 所以在区间上有且只有一个零点； （2）由对恒成立， 即对恒成立， 令，，则， 所以，令， 则， 当时，对任意，则， 所以在单调递减，所以，满足题意； 当时，在上恒成立，所以在单调递减，又，， ①当，即时，恒成立，所以在单调递减， 所以，满足题意； ②当且时，即时，由零点存在性定理知，，使得. 当时，，所以在上单调递增，所以，不满足题意； ③当时，即时，对任意单调递增，所以，不满足题意. 综上，的取值范围为. 2．（24-25高三下·天津河西·开学考试）已知四数． (1)求在处的切线方程； (2)证明：函数只有一个零点； (3)当时，函数恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）由题设，则，又， 所以在处的切线方程为，即. （2）当时，，，故恒成立； 当时，； 当时， 法一：令，则， 令，则，即在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 所以在上恒成立； 法二：恒成立，即在上单调递增，所以； 综上，函数只有一个零点为，得证； （3）由题意，在上恒成立， 所以，在上恒成立， 而， 令，则， 对于且，则， 所以在上单调递增，则，可得， 对于且，则， 所以在上单调递增，则，可得， 综上，，则，即在上单调递增， 所以， 当时，，即在上单调递增，此时，满足； 当时，，， 所以使，即存在区间使，不符合； （保号性：，，故必存在的情况，不符合；） 综上，. 3．（2025·北京·模拟预测）已知函数. (1)若函数的极值点在内，求m的取值范围； (2)若有两个零点，求m取值的范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由, 则， 要使函数的极值点在内， 则在上有解， 即在上有解，则，解得， 即m的取值范围为. （2）由，， 则， 当时，，，则， 此时函数在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意； 当时，，令，得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又时，，时，， 要使有两个零点，则恒成立， 设，则， 所以函数在上单调递增，又， 则，解得. 综上所述，m取值的范围为. 4．（24-25高二下·天津河东·阶段练习）已知函数 (1)当 时，求函数的单调区间； (2)若函数 在区间 上有1个零点，求实数k的取值范围； (3)若 在 上恒成立，求出正整数k的最大值； 【答案】(1)增区间，减区间 (2) (3)3 【详解】（1）当时，，， 则， 令，得，令，得， 所以的单调增区间为，减区间为. （2）由， 当时，由，得， 所以，在上是单调增函数，且图象不间断， 又，所以当时，， 所以函数在区间上没有零点，不合题意. 当时，令，得， 若，则，故在上是单调减函数， 若，则，故在上是单调增函数， 当时，， 又， 所以函数在区间上有1个零点，符合题意． 综上所述，的取值范围为. （3）由在上恒成立，即， 由，则，对上恒成立， 令，则， 设，则， 所以在是单调增函数， 又，， 所以存在唯一的实数，使得， 当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，又，即， ， ，又，， 所以的最大值为3， 5．（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在上的函数. (1)若，判断是否存在极小值点，并说明理由； (2)若存在两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)无极小值点；理由见解析 (2) 【详解】（1）依题意可得， ，故， 设，则， ， 在上单调递增， ， 在上单调递增，无极小值点； （2）令，可得， 所以与恰有两个交点， 设，则， 令可得， 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增 ， 当时，；当时，， 的取值范围是 6．（2025·山东·一模）已知函数． (1)当时，求函数的零点个数； (2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）当时，，定义域为． 于是，故在上单调递减． 又，故函数的零点个数为1． （2）因为， 所以为奇函数， 若函数有且只有一个零点，由于， 则当时，或， 由（1）可知当时，在上单调递减， 此时，即． 若，则当时，，符合题意． 因为，令， 则． 令，则． 若，则， 故在上单调递增，于是．故在上单调递增， 于是．则在上单调递增，此时，符合题意． 若，记且， 则当时，． 故在上单调递减，于是．故在上单调递减， 于是．则在上单调递减，此时． 又，故在上存在零点，矛盾． 综上所述，实数a的取值范围为． 考点四 零点问题：讨论零点数量 1．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数 (1)若函数在处取得极小值，求实数a，b的值； (2)求的单调区间； (3)已知，且函数的极大值是1，讨论函数的零点个数． 【答案】(1)； (2)答案见详解； (3)答案见详解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为函数在处取得极小值， 所以，解得， 此时， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时，取到极小值，符合题意. 所以. （2）， 令，则或， 当时，，所以在上单调递增； 当，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为； 当，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为. （3）由（2）可知，当，的单调递增区间为，；单调递减区间为， 当时，函数取到极大值，即， 所以， 当时，函数取到极小值，即， 当即时，有1个零点； 当即时，有2个零点； 当即时，有3个零点. 2．（2025·四川巴中·一模）已知函数. (1)求函数的极值； (2)求证：当时，； (3)若.其中.讨论函数的零点个数. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)答案见解析； 【详解】（1）因为， 所以，令，得， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以的极小值为：； （2）原不等式等价于当时，， 即当时，， 令，则， 令，则， 所以在上递增，即在上递增， 所以，则在上递减， 所以，所以原不等式成立； （3）， 当时，， 又，则在上递增，且，， 所以在上总有一个零点； 当时，，则， 当时，，在上递增；， 在无零点； 当，时，，当时，， 所以，令 ，得 ， 当 时，，在无零点； 当时，，在上有唯一零点； 当时，，又， 由（2）知，，， 由零点存在定理知：在、上各有一个零点， 综上：当时，有一个零点；当时，有两个零点； 当时，有三个零点. 3．（2025·重庆·模拟预测）已知函数，，. (1)证明：. (2)讨论函数在上的零点个数. (3)当，时，证明：，. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）因为，，所以. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 从而，则. （2）因为，， 所以， 当时，，当时，， 故， 当为奇数时，在上恒成立，则在上单调递减， 因为，，所以在上的零点个数为1. 当为偶数时，，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 从而， 所以在上的零点个数为0. 综上可得：当为奇数时，在上的零点个数为1， 当为偶数时，在上的零点个数为0. （3）由（2）可知，当，时， 要证，， 即证， 即证， 即证， 即证. 由（1）可知，，当且仅当时，等号成立. 令，可得， 故 从而，. 4．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)讨论的零点个数，并证明. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意可得，则，解得． （2）当时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点． 证明如下： 令，得或． 设函数． ① 当时，恒成立，没有零点，则有唯一的零点； ② 当时，，故是上的增函数， 由得. ∵，， ∴有唯一的零点，则有两个零点； ③ 当时，． 由，得，由，得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴． 若，则，，则， ，则没有零点，故有唯一的零点； 若，则，，则有一个零点，故有两个零点； 若，则，，， ， 又，时，， ∴在和内各有一个零点，即有两个大于0的零点，则有三个零点． 综上，当时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点． 5．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2)答案见解析 【详解】（1），， 令， 所以当时，，为单调递减函数； 当时，，为单调递增函数； 当时，，为单调递增函数， 所以的极大值为，极小值为. （2）的零点个数即为与的交点个数， 由，可得，， 时；时；时， 结合（1）画出图象如下： 所以，当时，函数无零点； 当或，函数有一个零点； 当或时，函数有两个零点； 当时，函数有三个零点. 6．（2025·广东湛江·一模）已知函数，其中． (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，试判断的零点个数并证明． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)两个零点，证明见解析 【详解】（1）由题知，， 当时，． 令，得或（舍去）． 当时，，故的单调递减区间为． 当时，，故的单调递增区间为． （2）解法一：因为，故有一个零点是2． 令，解得（舍去），． 当时，，故单调递减． 当时，，故单调递增． 当时，，． ． 下面先证明当时，． 令，， 故在上单调递增， 所以． 因为，所以． 易知，所以在上存在唯一的零点， 所以当时，有两个零点，为2和． 解法二：当时，，故2是的一个零点． 令，又，所以． 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是的极小值点． 当时，，所以． 下证． 令，则． 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 从而， 所以当时，， 所以， 即． 令，则有，则． 易得当时，，所以在上有唯一解． 综上，当时，有两个零点． 解法三：令， 当时，，故2是的一个零点． 当时，． 令， 易得在和上均单调递减． 因为（洛必达法则）， 所以当时，且单调递减， 故当时，在上有唯一解． 而当时，， 故当时，无解． 综上可知，当时，有两个零点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$