第8章 教考衔接3 空间几何体的表面积与体积 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

一、真题展示 (2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________． [解析]　如图所示，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，易知A1M为四棱台ABCD­A1B1C1D1的高， 因为AB＝2，A1B1＝1，AA1＝， 则A1O1＝A1C1＝×A1B1＝，AO＝AC＝×AB＝， 故AM＝＝，则A1M＝＝＝， 所以所求体积为V＝×(4＋1＋)×＝. 故答案为. [答案]　 二、真题溯源 [教科书第116页练习第1题] 正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm，求它的表面积． 三、类法探究 空间几何体的体积、表面积是高考的热点，旨在考查学生的空间想象能力与运算能力，以后仍将延续这一命题方向．当某些几何体是常见几何体的一部分时，补形法是常见的解题策略． (多选题)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．如图为四角攒尖，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为 m，则(　　) A．正四棱锥的底面边长为6 m B．正四棱锥的底面边长为3 m C．正四棱锥的侧面积为24 m2 D．正四棱锥的侧面积为12 m2 [解析]　如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，则SH⊥AB，设底面边长为2a.因为∠SHO＝30°，所以OH＝AH＝a，OS＝a，SH＝a.在Rt△SAH中，a2＋2＝21，解得a＝3，所以正四棱锥的底面边长为6 m，侧面积为S＝×6×2×4＝24( m2)． [答案]　AC 求空间几何体表面积的类型及方法 (1)求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积； (2)求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积．　 (1)(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________． (2)如图所示，已知在多面体ABC－DEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为________. [解析]　(1)如图所示，＝＝＝， ∴OO1＝3，V＝(4＋16＋)×3＝28. (2)解法一(分割法)　因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C作CH⊥DG于H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH－ABC和一个斜三棱柱BEF－CHG.由题意，知V三棱柱DEH－ABC＝S△DEH×AD＝×2＝2，V三棱柱BEF－CHG＝S△BEF×DE＝×2＝2.故所求几何体的体积为V多面体ABC－DEFG＝2＋2＝4. 解法二(补形法)　因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的一半．又正方体的体积V＝23＝8，故所求几何体的体积为V多面体ABC－DEFG＝×8＝4. [答案]　(1)28　(2)4 求空间几何体的体积的三种方法 　 学科网（北京）股份有限公司 $$