第6章 数学探究 用向量法研究三角形的性质 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了学生分析问题、解决问题的能力.现就“四心”作如下介绍. 一、“四心”的概念与性质 1．重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1；在向量表达形式中，设点G是△ABC所在平面内的一点，则当点G是△ABC的重心时，有＋＋＝0或＝(＋＋)(其中P为平面内任意一点)；反之，若＋＋＝0，则点G是△ABC的重心． 在向量的坐标表示中，若G，A，B，C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则有x＝，y＝. 2．垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线垂直于对边；在向量表达形式中，若H是△ABC的垂心，则·＝·＝·或2＋2＝2＋2＝2＋2，反之，若·＝·＝·，则H是△ABC的垂心． 3．内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等． 4．外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等；在向量表达形式中，若点O是△ABC的外心，则(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0或||＝||＝||，反之，若||＝||＝||，则点O是△ABC的外心． 二、向量法探究“四心”证明问题 探究1　探究三角形三边的垂直平分线交于一点 [证明]　如图，在△ABC中，取三边AB，BC，CA的中点D，E，F，作OD⊥AB，OE⊥BC交于点O，连接OF，只要证明OF⊥CA. 因为OD⊥AB，OE⊥BC， 所以·＝0，·＝0， 即(＋＋)·＝0， (＋＋)·＝0， 由·＝0， ·＝0， 得·＝0，① ·＝0.② 由①＋②，得·＋·＝0， 即·(＋)＝0，所以·＝0， 于是OF⊥CA，得证． 探究2　探究三角形的三条高线交于一点 [证明]　如图，在△ABC中， 作高线AH⊥BC，BH⊥AC， 连接CH，只要证明CH⊥AB. 因为AH⊥BC，BH⊥AC， 所以⊥，⊥， 得·＝0， ·＝0. 于是·(＋)＝0，① ·(＋)＝0.② 由①－②，得 ·－·＝0， (－)·＝0， 得·＝0，所以CH⊥AB，得证． 三、“四心”的应用 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心． [解析]　由原等式，得－＝λ(＋)， 即＝λ(＋)， 根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线所对应向量的2倍， 所以点P的轨迹必过△ABC的重心． [答案]　重 [变式训练] 1．若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则P点的轨迹一定通过△ABC的________心． 解析　由条件，得－＝λ， 即＝λ，而和分别表示平行于，的单位向量， 知＋平分∠BAC，即平分∠BAC， 所以点P的轨迹必过△ABC的内心． 答案　内 2．若动点O满足＝＋λ＋，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的________心． 解析　由条件，得＝λ＋， 从而·＝λ ＝λ×＋λ× ＝0， 得⊥，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心． 答案　垂 3．若动点P满足＝＋λ＋，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的________心． 解析　由条件，得 －＝λ， 即＝λ， 所以·＝λ＋＝0， 即·(－)＝0， 得2＝2，||＝||， 所以动点P的轨迹一定通过△ABC的外心． 答案　外 已知△ABC内一点O满足关系＋2＋3＝0，试求S△BOC∶S△COA∶S△AOB的值． [解析]　延长OB至B1，使BB1＝OB，延长OC至C1，使CC1＝2OC，如图所示． 则＝2，＝3，由条件， 得＋＋＝0， 所以点O是△AB1C1的重心， 从而S△B1OC1＝S△C1OA＝S△AOB1＝S， 其中S表示△AB1C1的面积， 所以S△COA＝S，S△AOB＝S， S△BOC＝S△B1OC＝×S△B1OC1＝S， 于是S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝∶∶ ＝1∶2∶3. 本例可推广为：已知△ABC内一点O满足关系λ1＋λ2＋λ3＝0，则S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝λ1∶λ2∶λ3.　 设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使＋＋＋＋＝0成立的点M的个数为(　　) A．0　　　　　　　　 B．1 C．5 D．10 [解析]　对于空间两点A，B来说，满足＋＝0的点M是线段AB的中点；对于空间三点A，B，C来说，满足＋＋＝0，可认为是先取AB中点G，再连接CG，在CG上取点M，使MC＝2MG，则M满足条件，且唯一；对于空间四点A，B，C，D来说，满足＋＋＋＝0，可先取△ABC的重心G，再连接GD.在GD上取点M，使DM＝3MG，则M满足条件，且唯一，不妨也称为重心G；与此类似，对于空间五点A，B，C，D，E来说，满足＋＋＋＋＝0，可先取空间四边形ABCD的重心G，再连接GE，在GE上取点M，使EM＝4MG，则M满足条件，且唯一． [答案]　B [变式训练] 4．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足＝(λ∈R)，则P的轨迹一定过△ABC的(　　) A．内心 B．垂心 C．重心 D．AC边的中点 解析　设AB边的中点为D， 则＝(＋)＋ ＝＋， 而＋＝1， 所以得到P，D，C三点共线， 所以P的轨迹一定过△ABC的重心．故选C. 答案　C 5．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ＋，λ∈(0，＋∞)，则P点的轨迹一定通过△ABC的________心． 解析　由正弦定理，得||sin B＝||sin C＝k， 所以原等式即为＝(＋)， 所以P点的轨迹一定通过△ABC的重心． 答案　重 6．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的________心． 解析　设BC的中点为M，则＝，结合已知条件，得＝＋λ，即＝λ， ∴P点的轨迹一定通过△ABC的重心． 答案　重 7．在△ABC中，O为外心，H为△ABC所在平面内一点，且＝＋＋，则点H为△ABC的________心． 解析　因为＝＋＝＋， 所以·＝(＋)·(－)＝0， 所以⊥，同理⊥，⊥， 则点H为△ABC的垂心． 答案　垂 学科网（北京）股份有限公司 $$