第6章 教考衔接1 解三角形中的热点问题 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

一、真题展示 (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 解析　(1)由余弦定理得cos C＝＝， 又0<C<π，∴C＝. ∴cos B＝sin C＝，∴cos B＝， 又0<B<π，∴B＝. (2)由(1)得A＝π－B－C＝， 由正弦定理＝，得＝， ∴a＝c. ∴△ABC的面积S＝acsin B＝c2×＝3＋， 得c＝2. 二、真题溯源 [教科书第54页习题6.4第22题] 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0. (1)求A； (2)若a＝2，则△ABC的面积为，求b，c. 三、类法探究 解三角形依赖于内角和定理、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等，在三角形三个角、三条边、三个心、三定理之间建立联系，挖掘关系，一旦对给定关系式的结构判断不准确，转化不到位，求解思维痛点就会产生，卡壳点增加．解三角形问题时需要对其进行以下分析：一是从“形”上分析；二是从“数”上分析．三角形中基本元素有六个(三边、三角)，相关元素有四线 (中线、角平分线、中垂线、高) 及其性质有三定理(内角和定理、正弦定理、余弦定理)，有多个公式(三角形面积公式、海伦公式等)，还有多种三角变换(倍角公式等)，它们之间有着千丝万缕的联系． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin B＝bsin . (1) 求角A的大小； (2) 若AB＝3，AC＝1，∠BAC的平分线交BC于点D，求AD的长． [解析]　(1)因为asin B＝bsin ，由正弦定理得sin Asin B＝sin Bsin . 因为sin B≠0，所以sin A＝sin ， 所以sin A＝sin A＋cos A， 即sin A＝cos A， 所以tan A＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)在△ABD中，由正弦定理得 ＝， 在△ADC中，由正弦定理得 ＝. 因为sin ∠BAD＝sin ∠DAC，sin ∠ADB＝sin ∠ADC， 所以＝＝， 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 所以||2＝2＝||2＋||2＋·＝×9＋×1＋×3×1×＝， 所以AD＝. 应用正弦、余弦定理的解题技巧 (1)求边：利用正弦定理变形公式a＝等或余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A等求解； (2)求角：利用正弦定理变形公式sin A＝等或余弦定理变形公式cos A＝等求解； (3)利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．　 (2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求sin∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． [解析]　(1)由余弦定理可得 BC2＝a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋1－2×2×1×cos120°＝7， 则BC＝， cos ∠ABC＝＝＝， sin ∠ABC＝＝＝. (2)由三角形面积公式可得＝＝4， 则S△ACD＝S△ABC＝××2×1×sin120°＝. 求三角形面积的方法 (1)若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值)及该角的两边长度，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，或直接代入海伦公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．　 在△ABC中，sin 2A－sin 2B－sin 2C＝sin Bsin C. (1)求A； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． [解析]　(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.① 由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A．② 由①②得cos A＝－. 因为0＜A＜π，所以A＝. (2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，从而AC＝2sin B，AB＝2sin (π－A－B)＝3cos B－sin B． 故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin . 又0＜B＜，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2. 先利用正弦定理化边为角，再利用三角形内角和定理和辅助角公式，将目标函数转化为只含一个角的三角函数，最后利用三角函数的性质求解．　 学科网（北京）股份有限公司 $$