8.5.1 直线与直线平行&8.5.2 直线与平面平行 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

　空间直线、平面的平行 8．5.1　直线与直线平行 8．5.2　直线与平面平行 学业标准 素养目标 1.会判断空间两直线的位置关系，能用基本事实4和等角定理解决一些简单的问题．(重点) 2．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能初步解决问题．(重点、难点) 1.通过空间两直线位置关系的学习，培养直观想象等核心素养． 2．根据直线与平面平行的判定与性质，提升逻辑推理和直观想象等核心素养. 导学1 直线与直线平行 同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行． 问题：空间中是否有类似规律？ [提示]　有． 观察下图中的∠AOB与∠A′O′B′. 这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？ [提示]　分别对应平行． ◎结论形成 1．基本事实4 文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． 符号表述：⇒a∥c. 作用：判断空间两条直线平行． 2．等角定理 如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 导学2 直线与平面平行的判定与性质 门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭，不论转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边所在平面(墙面)存在不变的位置关系． 上述问题中存在着不变的位置关系是指什么？ [提示]　平行． 若判断直线与平面平行，由上述问题你能得出一种方法吗？ [提示]　可以，只需在面内找一条与面外直线平行的直线即可． 若一直线与平面内的直线平行，一定有直线与平面平行吗？ [提示]　不一定，要强调线在面外． ◎结论形成 定理 条件 结论 图形语言 符号语言 作用 直线与平面平行的判定定理 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行 该直线与此平面平行 由线线平行证明线面平行 直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交 该直线与交线平行 由线面平行证明线线平行 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一个角的两边与另一个角的两边平行，那么这两个角相等．(　　) (2)如果两个角相等，则它们的边互相平行．(　　) (3)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(　　) (4)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列条件中能确定直线a与平面α平行的是(　　) A．a⊄α，b⊂α，a∥b B．b⊂α，a∥b C．b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥c D．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD 解析　由直线与平面平行的判定定理知选A. 答案　A 3．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，则直线a与平面β的位置关系为________． 解析　因为α∥β，所以α与β无公共点， 因为a⊂α，所以a与β无公共点，所以a∥β. 答案　a∥β 4．已知棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________． 解析　如图所示，MN∥AC且MN＝AC，又因为AC∥A′C′，所以MN∥A′C′. 答案　平行 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．求证： (1)四边形BB1M1M为平行四边形； (2)∠BMC＝∠B1M1C1. [证明]　(1)∵ABCD­A1B1C1D1为正方体． ∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1， 又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点， ∴AM＝A1M1且AM∥A1M1， ∴四边形AMM1A1为平行四边形， ∴MM1＝AA1且MM1∥AA1. 又AA1＝BB1且AA1∥BB1， ∴MM1＝BB1且MM1∥BB1， ∴四边形BB1M1M为平行四边形． (2)证法一　由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形， ∴B1M1∥BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形， ∴C1M1∥CM. ∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同， ∴∠BMC＝∠B1M1C1. 证法二　由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形， ∴C1M1＝CM. 又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1， ∴∠BMC＝∠B1M1C1. 1．空间两条直线平行的证明 一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； 二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线、梯形、平行四边形等关于平行的性质； 三是利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 2．求证角相等 一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．　 [触类旁通] 1.如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD. 证明　(1)在△ABD中， ∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD. 同理FG∥BD，则EH∥FG. 故E，F，G，H四点共面． (2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH. 又∵四边形EFGH是矩形， ∴EH⊥GH.故AC⊥BD. 如图，已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和矩形ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE. [证明]　作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图， 则PM∥QN，＝，＝. ∵EA＝BD，AP＝DQ， ∴EP＝BQ. 又AB＝CD，∴PMQN， ∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN. 又PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE， ∴PQ∥平面CBE. 利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线定理、平行公理等．　 [触类旁通] 2.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF∥平面PAD. 证明　在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD， ∴EF∥AD.∵AD⊂平面PAD， EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD. 求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么该直线与相交平面的交线平行． [证明]　如图，已知a∥α，a∥β，且α∩β＝l. 求证：a∥l. 如图所示，在平面α内任取一点A，且使A∉l. 因为a∥α，所以A∉a. 故点A和直线a确定一个平面γ， 设γ∩α＝m. 同理，在平面β内任取一点B，且使B∉l， 则点B和直线a确定一个平面δ， 设δ∩β＝n. 因为a∥α，a⊂γ，γ∩α＝m， 所以a∥m. 同理，a∥n，则m∥n. 又m⊄β，n⊂β，所以m∥β. 因为m⊂α，α∩β＝l，所以m∥l. 又a∥m，所以a∥l. [母题变式] 若例3中将条件改为“α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，且l∥m”，试判断直线l，m，n的位置关系，并说明你的理由． 解析　三条直线l，m，n相互平行，证明如下： 如图所示，因为l∥m，m⊂γ，l⊄γ， 所以l∥γ. 又l⊂α，α∩γ＝n， 所以l∥n. 又因为l∥m， 所以m∥n，即直线l，m，n相互平行． [素养聚焦]　利用直线与平面平行的性质，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．　 [触类旁通] 3．在长方体ABCD ­A′B′C′D′中，点P∈BB′(不与B，B′重合)．PA∩BA′＝M，PC∩BC′＝N，求证：MN∥平面ABCD. 证明　如图所示， 连接AC，A′C′， ∵ABCD ­A′B′C′D′是长方体， ∴AC∥A′C′. 又AC⊄平面BA′C′， A′C′⊂平面BA′C′， ∴AC∥平面BA′C′. 又∵平面PAC过AC与平面BA′C′交于MN， ∴MN∥AC. ∵MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴MN∥平面ABCD. 知识落实 技法强化 (1)基本事实4的应用． (2)等角定理的应用． (3)直线与平面平行的性质定理. 解题中注意①用等角定理时，角有可能相等或互补；②证明线面平行时漏写线在平面外(内). 学科网（北京）股份有限公司 $$