8.3.2 第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 学业标准 素养目标 1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式．(重点) 2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积．(难点) 1.通过圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算，培养数学运算等核心素养． 2．借助圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的探究，提升逻辑推理等核心素养. 第1课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 导学 圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积 如图所示为某运动会上用来进行传递的火炬．火炬外形是细长的圆台形式，燃料为丙烷． 能否计算出火炬的外层着色需要覆盖多大的面积？ [提示]　可以，即计算圆台的表面积． 能否计算其内部能装多少液态的丙烷？ [提示]　可以，即计算其容积． ◎结论形成 1．圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱(底面半径为r，母线长为l) 圆锥(底面半径为r，母线 长为l) 圆台(上、下底面半径为 r′，r，母线长为l) 底面积 S底＝πr2 S底＝πr2 S底＝π(r′2＋r2) 侧面积 S侧＝2πrl S侧＝πrl S侧＝π(r′l＋rl) 表面积 S表＝2πr(r＋l) S表＝πr(r＋l) S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 2.圆柱、圆锥、圆台的体积 V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)， V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)， V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆锥的侧面展开图是扇形．(　　) (2)圆锥的体积是同底同高圆柱体积的.(　　) (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积．(　　) (4)圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于(　　) A．72　　　　　　 B．42π C．67π D．72π 解析　S圆台表＝S圆台侧＋S上底＋S下底 ＝π(3＋4)·6＋π·32＋π·42＝67π. 答案　C 3．图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为(　　) A．100π B．600 C．200π D．300π 解析　由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知可得半径为20，由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果． 莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为的圆弧构成，所以该零件底面周长为3××20＝20π，故其侧面积为200π.故选C. 答案　C 4．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________． 解析　由已知圆锥的高h＝4， 所以V圆锥＝π×32×4＝12π. 答案　12π 已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________． [解析]　解法一　设该圆锥的母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2π，所以πl2＝2π，解得l＝2，所以该半圆的弧长为2π.设该圆锥的底面半径为R，则2πR＝2π，解得R＝1. 解法二　设该圆锥的底面半径为R，则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2πR.因为侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为r，则πr＝2πR，即r＝2R，所以侧面展开图的面积为·2R·2πR＝2πR2＝2π，解得R＝1. [答案]　1 圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下： (1)得到空间几何体的平面展开图． (2)依次求出各个平面图形的面积． (3)将各平面图形的面积相加．　 [触类旁通] 1．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为(　　) A．7　　 B．6　　　 C．5　　 D．3 解析　设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7. 答案　A 圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是(　　) A．1∶1　 B．1∶6　　 C．1∶7　 D．1∶8 [解析]　如图，设圆锥底半径OB＝R，高PO＝h， ∵O′为PO中点，∴PO′＝， ∵＝＝， ∴O′A＝， ∴V圆锥PO′＝π·2·＝πR2h. V圆台O′O＝·2＋R2＋·R· ＝πR2h. ∴＝，故选C. [答案]　C 求几何体体积的常用方法 　 [触类旁通] 2．(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A．2π　 B．3π　　 C．6π　 D．9π 解析　设圆柱和圆锥的底面半径均为r，因为它们的高均为，且侧面积相等，所以2πr×＝πr，得r2＝9，所以圆锥的体积V＝πr2×＝3π，故选B. 答案　B 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． [解析]　如题图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°， ∴CD＝＝2a，AB＝CDsin 60°＝a， ∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a， ∴DO＝DD′＝a. 由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥． 由上述计算知，圆柱母线长a，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径a.∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2， 圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2， 圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2， 圆锥的底面积S4＝πa2， ∴组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2， ∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5 ＝(4＋9)πa2. 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积． V柱＝Sh＝π·(2a)2·a＝4πa3， V锥＝S′h＝·π·a2·a＝πa3， ∴V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3. [素养聚焦]　借助组合体的表面积和体积的计算，把数学运算和直观想象体现在解题过程中． 求组合体的表面积和体积，首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的．组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组成组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单组合体的体积之和(差)．　 [触类旁通] 3．“抽陀螺”是中国传统民俗体育游戏，也是很多人美好的童年记忆，陀螺一般为木制的圆锥和圆柱的组合体，上大下尖，将尖头着地，以绳绕之，然后抽打，使其旋转．如图是一个陀螺的几何体，由图中所给数据，得该几何体的表面积为(　　) A．(45＋9)π cm2　　 B．(45＋6)π cm2 C．(72＋9)π cm2 D．(72＋6)π cm2 解析　分析可知该几何体是由一个圆柱和一个圆锥拼接而成的几何体，结合三视图中的数据可求得几何体的表面积． 由该几何体的侧面展开图可知，该几何体的表面积为上圆锥侧面展开图面积和圆柱的侧面展开图面积以及底面圆的面积之和， 圆柱侧面展开图面积S1＝6π×6＝36π (cm2)，底面圆面积为S2＝π×32＝9π (cm2)， 圆锥侧面展开图扇形面积为S3＝×6π＝9π (cm2)， 所以几何体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝(45＋9)π (cm2)，故选A. 答案　A 知识落实 技法强化 (1)圆柱、圆锥、圆台的表面积． (2)圆柱、圆锥、圆台的体积． (3)简单几何体的表面积和体积公式的应用. 平面图形与立体图形切换. 学科网（北京）股份有限公司 $$