8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

8．3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 学业标准 素养目标 1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．(重点) 2．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．(重点) 1.借助棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养． 2．通过对棱柱、棱锥、棱台的体积的探究，提升逻辑推理的素养. 导学 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 在初中我们已经学过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道正方体和长方体的展开图的面积与正方体和长方体的表面积的关系吗？ [提示]　正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是围成它们的各个面面积的和，也就是展开图的面积．如图所示． 假如长方体内装满水，你能计算出水的体积吗？ [提示]　可以．体积V＝Sh. 怎样计算棱台的体积？ [提示]　把棱台恢复成棱锥，然后用这个棱锥的体积减去截掉的小棱锥的体积． ◎结论形成 1．多面体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和． 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积之和． 2．棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 棱锥的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 棱台的体积公式V＝(S′＋＋S)h(其中，棱台的上、下底面面积分别为S′、S，高为h)． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和．(　　) (2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和．(　　) (3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同．(　　) (4)在三棱锥P­ABC中，VP­ABC＝VA­PBC＝VB­PAC＝VC­PAB.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．一正四棱锥各棱长均为a，则其表面积为(　　) A.a2　　　　　　　 B．(1＋)a2 C．2a2 D．(1＋)a2 解析　正四棱锥的底面积为S底＝a2， 侧面积为S侧＝4××a×a＝a2， 故表面积为S表＝S底＋S侧＝(1＋)a2. 答案　B 3．如图所示，正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1­ACD的体积是(　　) A. B. C. D．1 解析　VD1－ACD＝××1×1×1＝. 答案　A 4．已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是________． 答案　 已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高为 cm，求此正三棱台的表面积． [解析]　如图所示， 画出正三棱台ABC－A1B1C1，其中O1，O分别为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，所以DD1＝＝＝，所以此三棱台的表面积S表＝S侧＋S底＝3××(3＋6)×＋×32＋×62＝ (cm2)． 求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．　 [触类旁通] 1．已知底面是菱形的直棱柱，底面的对角线的长分别是6和8，棱柱的高是15，则这个棱柱的侧面积是(　　) A．75　　　　　　　 B．250 C．150 D．300 解析　由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得菱形的边长为5，所以侧面积为S侧＝4×5×15＝300. 答案　D 如图所示，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C ­A′DD′，求棱锥C ­A′DD′的体积与剩余部分的体积之比． [解析]　解法一　设AB＝a，AD＝b，DD′＝c， 则长方体ABCD ­A′B′C′D′的体积V＝abc， 又S△A′DD′＝bc， 且三棱锥C ­A′DD′的高为CD＝a. ∴V三棱锥C ­A′DD′＝S△A′DD′·CD＝abc. 则剩余部分的几何体体积V剩＝abc－abc＝abc. 故V棱锥C ­A′DD′∶V剩＝abc∶abc＝1∶5. 解法二　已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′ ­BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh. 而棱锥C ­A′DD′的底面面积为S，高为h， 因此棱锥C ­A′DD′的体积 VC ­A′DD′＝×Sh＝Sh. 剩余部分的体积是Sh－Sh＝Sh. 所以棱锥C ­A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为Sh∶Sh＝1∶5. [素养聚焦]　通过空间几何体的体积的计算，把直观想象等核心素养体现在解题过程中． 求几何体体积的常用方法 　 [触类旁通] 2.已知高为3的棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥B­AB1C的体积为(　　) A. B. C. D. 解析　VB­AB1C＝VB1­ABC＝S△ABC×h＝××3＝. 答案　D 已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积． [解析]　如图，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12. 连接OE，O1E1， 则OE＝AB＝×12＝6， O1E1＝A1B1＝3. 过E1作E1H⊥OE，垂足为H， 则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3， HE＝OE－O1E1＝6－3＝3. 在Rt△E1HE中， E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17， 所以E1E＝3. 所以S侧＝4××(B1C1＋BC)×E1E ＝2×(6＋12)×3＝108. 解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决．　 [触类旁通] 3．三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1­ABC、三棱锥B­A1B1C、三棱锥C­A1B1C1的体积之比． 解析　设棱台的高为h，S△ABC＝S， 则S△A1B1C1＝4S. ∴VA1­ABC＝S△ABC·h＝， VC­A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝. 又V台＝h(S＋4S＋2S)＝， ∴VB­A1B1C＝V台－VA1­ABC－VC­A1B1C1 ＝－－＝. ∴体积比为1∶2∶4. 知识落实 技法强化 (1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． (2)棱柱、棱锥、棱台的体积． (3)组合体的表面积与体积． (4)棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的关系. 平面图形与立体图形的切换不清楚. 学科网（北京）股份有限公司 $$