8.2 立体图形的直观图 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

　立体图形的直观图 学业标准 素养目标 1.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点) 2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(重点、难点) 1.通过斜二测画法，培养直观想象等核心素养． 2．通过直观图中的量的计算，提升数学运算、直观想象等核心素养. 导学1 水平放置的平面图形的斜二测画法 美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系． 在画实物图的平面图形时，其中的直角在图中一定要画成直角吗？ [提示]　为了直观，不一定． 正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么？为什么？ [提示]　平行四边形、扁圆形．为增加直观性． 这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗？ [提示]　不相同． ◎结论形成 导学2 用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 (1)画轴：画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面：用斜二测画法在平面xOy内，画出简单几何体底面的直观图． (3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变． (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(　　) (2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行．(　　) (3)相等的角在直观图中仍相等．(　　) (4)三角形的直观图的面积是原图形面积的.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(多选题)用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝(　　) A．45°　　　　　　　 B．135° C．60° D．90° 解析　在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°. 答案　AB 3．如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，那么△ABC是(　　) A．等腰三角形　　　　　 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 解析　因为A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，所以AB⊥AC.又AC＝2A′C′＝2AB，所以△ABC是直角三角形，不是等腰三角形． 答案　B 4．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________． 答案　2.5 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． [解析]　画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系， 画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. (2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD. (3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图． 画平面图形的直观图的技巧 (1)在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，且与x′轴平行的线段长度不变，与y′轴平行的线段长度减半． (2)原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线．画端点时，过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置．　 3原图中的曲线可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑曲线连接而画出. [触类旁通] 1．用斜二测画法画出如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图． 解析　(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴． (2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2 cm，在y′轴上取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示． 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图． [解析]　(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°. (2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD. (3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高． (4)成图．顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②. 画空间图形的直观图的原则 (1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段． (2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的.　 [触类旁通] 2．用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD ­A′B′C′D′的直观图． 解析　画法：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝2 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD. (3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′. (4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图(如图②)． 如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是(　　) A．14　　　　　　 B．10 C．28 D．14 [解析]　∵A′D′∥y′轴， A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′， ∴原图形是一个直角梯形． 又A′D′＝4， ∴原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8，故其面积为S＝×(2＋5)×8＝28. [答案]　C [母题变式] 若将例3变为“梯形A1B1C1D1是平面图形的直观图，若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1”，试求原四边形ABCD的面积． 解析　建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2， 在过点D与y轴平行的直线上截取AD＝2D1A1＝2， 在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2，连接BC，便得到了原图形， 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2， 所以面积S＝×2＝5. [素养聚焦]　通过原图和直观图之间的关系，把数学运算等核心素养体现在解题过程中． 1．还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段．平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段还原时长度变为原来的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可． 2．求图形的面积，关键是能先正确画出图形，然后求出相应边的长度，再利用公式求解． 3．原图的面积S与直观图的面积S′之间的关系为S＝2S′.　 [触类旁通] 3．已知等边△ABC的边长为a，那么由斜二测画法得到的水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′的面积为(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 解析　解法一　建立如图①所示的平面直角坐标系xOy. 如图②所示，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，应有A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a. 过点C′作C′D′⊥O′x′于点D′， 则C′D′＝O′C′＝a. 所以△A′B′C′的面积是S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2. 解法二　S△ABC＝a2， 又S△A′B′C′＝S△ABC， 所以S△A′B′C′＝×a2＝a2. 答案　D 知识落实 技法强化 (1)水平放置的平面图形的直观图的画法． (2)空间几何体直观图的画法． (3)直观图的还原与计算. 同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同. 学科网（北京）股份有限公司 $$