7.2.2 复数的乘、除运算 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

7．2.2　复数的乘、除运算 学业标准 素养目标 1.结合多项式的乘法了解复数的乘法法则．(难点) 2．理解共轭复数的概念．(重点) 3．能进行复数的除法以及分母实数化．(重点) 1.通过学习复数的乘法和除法，培养学生数学运算素养． 2．通过学习复数乘法运算所满足的运算律，培养学生数学抽象素养. 导学1 复数的乘法 两实数可以相乘，两复数可以相乘吗？ [提示]　可以． 复数代数形式的乘法与多项式的乘法相类似吗？ [提示]　类似． 复数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律吗？ [提示]　满足． ◎结论形成 1．复数的乘法 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2．复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有： 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 导学2 复数的除法 　 如何规定两复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？ [提示]　通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子和分母都乘c－di，化简后可得结果， 即＝＝ ＝＋i(c＋di≠0)． ◎结论形成 　复数的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个复数的积与商一定是虚数．(　　) (2)两个共轭复数的和与积是实数．(　　) (3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．(　　) (4)(a＋bi)(a－bi)＝a2－b2.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝(　　) A.＋i　　　　　　　 B.－i C．－＋i D．－－i 解析　由＝i，得z＋i＝zi， 所以(1－i)z＝－i，解得z＝＝－i. 答案　B 3．已知复数z1＝(2－i)i，复数z2＝a＋3i(a∈R)，若复数z2＝kz1(k∈R)，则a＝________. 解析　依题意z1＝1＋2i，由z2＝kz1，得a＋3i＝k(1＋2i)，即有故a＝. 答案　 4．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a＝________. 解析　设＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2， 即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi， 所以所以a＝. 答案　 计算下列各题． (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. [解析]　(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i) ＝1－i2－1＋i＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i. 1．两个复数代数形式乘法的一般方法 (1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将i2换成－1. (3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)． (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)． (3)(1±i)2＝±2i.　 [触类旁通] 1．(2022·新高考全国卷Ⅱ)(2＋2i)(1－2i)＝(　　) A．－2＋4i　　　　　　 B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i 解析　(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i－4i2＝2－2i＋4＝6－2i，故选D. 答案　D 2．(多选题)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的值可以是(　　) A．1 B．－2 C．－3 D．－4 解析　因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i， 所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)， 又此点在第二象限， 所以解得a＜－1，所以选BCD. 答案　BCD (1)＝(　　) A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i (2)(2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i [解析]　(1)＝＝＝2－i. (2)解法一(解方程法)　因为＝1＋i，所以z＝(z－1)(1＋i)，即z＝z－1＋zi－i，即zi＝1＋i，所以z＝＝＝1－i，故选C. 解法二(取倒数法)　因为＝1＋i，所以＝，即1－＝＝－i，即＝＋i＝，所以z＝＝1－i，故选C. [答案]　(1)D　(2)C 1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式． (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数． (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式 (1)＝－i.(2)＝i.(3)＝－i.　 [触类旁通] 3．(2022·新高考全国卷Ⅰ)若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　对原式两边同时乘以i得：z－1＝i，即z＝1＋i，所以＝1－i，即z＋＝2.故选D. 答案　D 4．(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　) A．－i B．i C. 0 D．1 解析　因为z＝＝＝＝－i，所以＝i，即z－＝－i. 故选A. 答案　A 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否为方程的一个根． [解析]　(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0， 即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴解得 (2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i也是方程的一个根． [母题变式] 若将例3条件中的“1＋i”改为“1＋ai(a为实数)”，判断a与c之间的关系． 解析　因为实系数复数方程的两根互为共轭复数， 所以另一根为1－ai， 所以(1＋ai)(1－ai)＝c，即1＋a2＝c. 故a与c之间的关系为1＋a2＝c. 解决复数方程问题的方法 与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用．　 [触类旁通] 5．在复数集C内解方程z2－10z＋30＝0. 解析　解法一　配方，得(z－5)2＝－5， ∴z－5＝i或z－5＝－i， ∴z＝5＋i或z＝5－i. 解法二　设z＝x＋yi(x，y∈R)， 则(x＋yi)2－10(x＋yi)＋30＝0， 即(x2－y2－10x＋30)＋(2xy－10y)i＝0， ∴ 解得或 ∴z＝5＋i或z＝5－i. 知识落实 技法强化 (1)复数的乘法及运算律． (2)复数的除法运算． (3)在复数范围内解方程. 分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误. 学科网（北京）股份有限公司 $$