7.1.2 复数的几何意义 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

7.1.2　复数的几何意义 学业标准 素养目标 1.通过实例了解复平面的点与复数一一对应的关系．(重点) 2．通过复平面，把复数与向量建立起紧密的联系． 3．通过向量的模表示复数的模．(重点) 1. 通过学习复数的几何意义，培养学生直观想象素养． 2. 借助于复数的模和共轭复数的计算，培养学生数学运算素养. 导学 复数的几何意义 　平面直角坐标系内的点与有序实数对之间的关系是一一对应的，即平面直角坐标系内的任一点对应着一对有序实数；任一对有序实数，在平面直角坐标系内都有唯一的点与它对应． 复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？ [提示]　一一对应． 有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？ [提示]　一一对应． 复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？ [提示]　由问题1、问题2可知能一一对应． ◎结论形成 1．复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．如图，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义 说明：为了方便，常把复数a＋bi说成点Z或说成向量，且规定相等的向量表示同一个复数． 3．复数的模 向量的模称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|.即|z|＝|a＋bi|＝. 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a.它的模等于|a|(a的绝对值)． 4．共轭复数 (1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (2)表示方法：复数z的共轭复数用表示．即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)原点是实轴和虚轴的交点．(　　) (2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．(　　) (3)若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.(　　) (4)若z1与z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于(　　) A．第一象限　　 　 　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　∵z＝i＋2i2＝－2＋i，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限． 答案　B 3．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则(　　) A．a＝0或a＝2 B．a＝0 C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2 解析　∵复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，∴a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2. 答案　A 4．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝________. 解析　|z|＝＝. 答案　 已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值(或取值范围)． (1)在实轴上； (2)在第三象限． [解析]　(1)若z对应的点在实轴上，则有 2a－1＝0，解得a＝. (2)若z对应的点在第三象限，则有 解得－1<a<. 故a的取值范围是. 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．　 [触类旁通] 1．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z. 解析　若复数z的对应点在虚轴上，则m2－m－2＝0， 所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0. 若复数z的对应点在实轴负半轴上， 则 所以m＝1，所以z＝－2. 设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形． (1)|z|＝3；(2)1≤|z|≤2. [解析]　(1) |z|＝3说明向量的长度等于3，即复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为3，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆． (2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组 不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合． 不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合． 这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合．如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界． [素养聚焦]　借助复数的几何意义，把直观想象与数学运算等核心素养体现在解题过程中． 解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点 一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形； 二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决．　 [触类旁通] 2．若复数z满足|z|≤，则z在复平面所对应的图形的面积为________． 解析　满足|z|≤的点Z的集合是以原点O为圆心，以为半径的圆及其内部所有的点构成的集合，∴所求图形的面积为S＝2π.故填2π. 答案　2π (1)向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是(　　) A．－10＋8i　　　　　 B．10－8i C．0 D．10＋8i (2)设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　) A．－5＋5i B．－5－5i C．5＋5i D．5－5i [解析]　(1)由复数的几何意义， 可得＝(5，－4)，＝(－5,4)， 所以＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)， 所以＋对应的复数为0. (2)由复数的几何意义， 得＝(2，－3)，＝(－3,2)， ＝－＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)． 所以对应的复数是5－5i. [答案]　(1)C　(2)D [母题变式] 1．在例3(2)中，对应的复数是z，则＝________. 解析　由例3(2)的解析可知对应的复数是5－5i，即z＝5－5i，所以＝5＋5i. 答案　5＋5i 2．在例3(2)中，若点A关于实轴的对称点为点C，则向量对应的复数为________． 解析　复数2－3i表示的点A(2，－3)关于实轴对称的点为C(2,3)，∴向量对应的复数为2＋3i. 答案　2＋3i (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．　 [触类旁通] 3．(1)复数z＝3－4i的共轭复数对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)(多选题)下列说法正确的是(　　) A．复数和其共轭复数都是成对出现的 B．实数不存在共轭复数 C．互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称 D．复数和其共轭复数的模相等 解析　(1)z＝3－4i的共轭复数为＝3＋4i，可知其对应的点在第一象限． (2)由共轭复数的相关知识可知，AD正确． 答案　(1)A　(2)AD 知识落实 技法强化 (1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系． (2)复数的模及几何意义． (3)共轭复数. 复数不能比较大小，复数的模可以比较大小. 学科网（北京）股份有限公司 $$