7.1.1 数系的扩充和复数的概念 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

　复数的概念 7．1.1　数系的扩充和复数的概念 学业标准 素养目标 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用． 2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．(重点、难点) 1.通过复数的相关概念，培养数学抽象核心素养． 2．通过利用复数相关的概念进行计算，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. 导学1 复数的有关概念 方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？ [提示]　没有． 若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？ [提示]　有解(x＝±i)，但不在实数范围内． ◎结论形成 1．复数的定义 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.全体复数构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集． 2．复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部． 3．复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等，当且仅当a＝c且b＝d. 导学2 复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R)在什么情况下表示实数？ [提示]　b＝0. 如何用集合关系表示实数集R和复数集C? [提示]　RC. ◎结论形成 　复数的分类 (1)复数a＋bi(a，b∈R) (2)集合表示 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　) (2)复数z1＝3i，z2＝2i，则z1＞z2.(　　) (3)复数z＝bi是纯虚数．(　　) (4)实数集与复数集的交集是实数集．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是(　　) A．3－3i　　　　　　 B．3＋i C．－＋i D.＋i 解析　 3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A. 答案　A 3．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________. 解析　易知a＝1，b＝－2，所以a2＋b2＝5. 答案　5 4．设m∈R，复数z＝－1－m＋(2m－3)i. (1)若z为实数，则m＝________； (2)若z为纯虚数，则m＝________. 解析　(1)若复数z＝－1－m＋(2m－3)i为实数， 则2m－3＝0，所以m＝. (2)若z为纯虚数，则－1－m＝0， 所以m＝－1. 答案　(1)　(2)－1 (1)(多选题)下列命题中的真命题是(　　) A．若z∈C，则z2≥0 B．2i－1的虚部是2i C．2i的实部是0 D．若a＋bi(a，b∈R)是实数，则b＝0 (2)当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i：①是虚数？②是纯虚数？ (1)[解析]　对于A，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以A为假命题； 对于B,2i－1＝－1＋2i，其虚部是2，不是2i，B为假命题； 对于C,2i＝0＋2i，其实部是0，C为真命题． 对于D，因为a＋bi是实数，所以其虚部b＝0， 所以D是真命题．故选CD. [答案]　CD (2)[解析]　①当 即m≠5且m≠－3时，z是虚数． ②当 即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数． [母题变式] 1．例1(2)中条件不变，当m为何值时，z为实数？ 解析　当 即m＝5时，z是实数． 2．例1(2)中条件不变，当m为何值时，z>0? 解析　因为z>0，所以z为实数，需满足 解得m＝5. 3．已知z＝log2(1＋m)＋i(3－m)(m∈R)，若z是虚数，求m的取值范围． 解析　∵z是虚数， ∴(3－m)≠0，且1＋m>0， 即∴－1<m<2或2<m<3. ∴m的取值范围为(－1,2)∪(2,3)． [素养聚焦]　借助复数的概念和分类，把数学抽象与数学运算等核心素养体现在解题过程中． 复数分类的关键 (1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式． (2)注意分清复数分类中的条件 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则 ①z为实数⇔b＝0； ②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0； ④z＝0⇔a＝0，且b＝0.　 [触类旁通] 1．(1)(多选题)下列说法正确的是(　　) A．对于复数a＋bi(a，b∈R)，若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B．对于复数a＋bi(a，b∈R)，若b＝0，则a＋bi为实数 C．若a∈R，则(a2＋1)i是纯虚数 D．实数集是复数集的真子集 (2)已知m∈R，复数z＝lg m＋(m2－1)i，当m为何值时， ①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数． (1)解析　对于复数a＋bi(a，b∈R)，若a＝0，b＝0，则a＋bi为实数0，若b＝0，则a＋bi＝a为实数，故A错误，B正确；若a∈R，则a2＋1≠0，所以(a2＋1)i是纯虚数，故C正确；显然D正确． 答案　BCD (2)解析　①当z为实数时，m需要满足解得m＝1. ②当z为虚数时，m需要满足 解得m＞0且m≠1. ③当z为纯虚数时，m需要满足 无解， 即不存在m使z为纯虚数． (1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值； (2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值． [解析]　(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴解得或 (2)设方程的实数根为x＝m， 则3m2－m－1＝(10－m－2m2)i， ∴解得a＝11或a＝－. 复数相等的充要条件 复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是①分别分离出两个复数的实部和虚部，②利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解． [注意]　在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．　 [触类旁通] 2．复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________. 解析　因为m∈R，z1＝z2， 所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i. 由复数相等的充要条件得 解得m＝5. 答案　5 知识落实 技法强化 (1)数系的扩充． (2)复数的概念． (3)复数的分类． (4)复数相等的充要条件. 解题过程中一般要化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式. 学科网（北京）股份有限公司 $$