6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例 导学 测量中的术语 1.基线 在测量过程中，把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．基线越长，测量的精确度越高． 2．仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图． 3．方位角和方向角 从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角叫方位角．如图，目标A的方位角为135°. 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角，如图，北偏东30°，南偏东45°. 4．视角 观察物体的两端视线张开的角度．如图． 5．坡角与坡度 坡面与水平面所成的二面角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度.如图． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．(　　) (2)两个不可能到达的点之间的距离无法求得．(　　) (3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向．(　　) (4)为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距30 m的楼的楼顶C处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为(30＋10)m.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　) A．α＞β　　　　　　　 B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 解析　根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B. 答案　B 3．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为(　　) A.a km B.a km C．a km D．2a km 解析　△ABC中，AC＝BC＝a (km)，∠ACB＝90°， 所以AB＝a (km)． 答案　A 4．从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为(　　) A．α＋β B．α－β C．β－α D．α 解析　如图所示，AB表示为建筑物，从地面上C点观察，由已知得∠BCA＝α，∠BCO＝β，则山顶的仰角为∠OCA， ∴∠OCA＝∠BCO－∠BCA＝β－α. 答案　C 某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距a km的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离． [解析]　解法一　∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°. ∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°， ∴AD＝CD＝a (km)． 在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理＝，得 BD＝CD·＝a· ＝a(km)． 在△ADB中，由余弦定理，得 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB ＝a2＋2－2·a·a· ＝a2， ∴AB＝a (km)． 故蓝方这两支精锐部队间的距离为a km. 解法二　在△BCD中， ∠CBD＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理，得＝， 则BC＝＝a (km)， 在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°， 所以△ACD为等边三角形． 因为∠ADB＝∠BDC， 所以BD为正△ACD的AC边上的中垂线， 所以AB＝BC＝a (km)． 测量不能到达的两点间的距离的方法及关键 (1)方法：测量不能到达的两点间的距离，利用正、余弦定理解斜三角形是一个重要的方法． (2)关键：构造一个或几个三角形，测出有关边长和角，用正、余弦定理进行计算．　 [触类旁通] 1.如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点之间的距离是(　　) A．20 m　　　　　　 B．20 m C．40 m D．20 m 解析　在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°， ∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD， ∴BD＝CD＝40 (m)，BC＝＝40(m)． 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°， ∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得AC＝＝20 (m)． 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝BC2＋AC2－2BC×AC×cos∠BCA ＝(40)2＋(20)2－2×40×20cos 60° ＝2 400， ∴AB＝20 (m)， 故A，B两点之间的距离为20 m. 答案　D 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m) [解析]　如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端． 依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2 (m)， 则∠ABD＝100°， 故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°. 在△ABD中，根据正弦定理，得＝. ∴BD＝＝≈38.5(m)． 在Rt△BCD中，CD＝BDsin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)， 即泉城广场上泉标的高约为38 m. [素养聚焦]　通过正弦定理解决高度问题，把数学建模和数学运算等核心素养体现在解题过程中． (1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形． (2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进．　 [触类旁通] 2．鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交会处，至今已有四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构．现在在塔底共线三点A，B，C处分别测得塔顶的仰角为30°，45°，60°，且AB＝BC＝ m，则文星塔高为(　　) A．20 m B. m C. m D．30 m 解析　设建筑物的高为PO＝h (m)，用h表示PA，PB，PC，利用cos∠PBA＋cos∠PBC＝0结合余弦定理求出h的值，即可得解． 如图所示： 设建筑物的高为PO＝h (m)，则PA＝＝2h，PB＝＝h，PC＝＝h， 由余弦定理可得 cos∠PBA＝＝， cos∠PBC＝＝， 因为∠PBA＋∠PBC＝π， 故cos∠PBA＋cos∠PBC＝cos∠PBA＋cos＝0， 即＋＝0， 可得h＝AB＝×＝ (m)． 故选B. 答案　B 如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋) n mile的两个观测点．现位于A点北偏东45°方向、B点北偏西60°方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？ [解析]　由题意，知AB＝5(3＋)(n mile)， ∠DBA＝90°－60°＝30°， ∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB中，由正弦定理得＝， 即BD＝＝ ＝＝10(n mile)． 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°， BC＝20(n mile)， ∴在△DBC中，由余弦定理，得 CD＝ ＝ ＝30(n mile)， 则救援船到达D点需要的时间为＝1(h)． 测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．　 [触类旁通] 3．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 解析　设缉私船用t h在D处追上走私船，画出示意图， 则有CD＝10t (n mile)，BD＝10t(n mile)， 在△ABC中，∵AB＝(－1) (n mile)，AC＝2(n mile)，∠BAC＝120°， ∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2·(－1)·2·cos 120°＝6， ∴BC＝(n mile)， 且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝·＝， ∴∠ABC＝45°，BC与正北方向成90°角． ∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝＝＝， ∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船． 知识落实 技法强化 (1)不可到达的距离问题． (2)不可到达的高度问题． (3)不可到达的角度问题. 方位角是易错点. 学科网（北京）股份有限公司 $$