6.4.3 第2课时 正弦定理 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第2课时　正弦定理 导学 正弦定理 　如图，在Rt△ABC中，A＝30°，斜边c＝2. 求△ABC的其他边和角． [提示]　B＝60°，C＝90°，a＝1，b＝. 试计算，，的值，三者有何关系？ [提示]　＝2，＝＝2，＝2，三者的值相等． 对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？ [提示]　是．如图，∵sin A＝， ∴＝c.∵sin B＝，∴＝c. ∵sin C＝1，∴＝＝. 　在钝角△ABC中，B＝C＝30°，b＝，试求其他边和角． [提示]　如图，△ACD为直角三角形，C＝30°，AC＝， 则AD＝，CD＝， BC＝3，AB＝，∠BAC＝120°. 　问题4中所得数字满足问题3中的结论吗？ [提示]　满足． ◎结论形成 文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比都相等，该比值为三角形外接圆的直径 符号语言 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝＝＝2R 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理不适用于直角三角形．(　　) (2)在△ABC中必有asin A＝bsin B．(　　) (3)在△ABC中，若a＞b，则必有sin A>sin B．(　　) (4)在△ABC中，若sin A＝sin B，则必有A＝B.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 解析　由于＝，故＝， 解得sin B＝. 答案　A 3．在△ABC中，a＝5，b＝3，则＝(　　) A. B. C. D. 解析　根据正弦定理，得＝＝. 答案　A 4．在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则＝________. 解析　＝＝＝4. 答案　4 (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝45°，B＝120°，a＝2，则b的值为(　　) A．2　　　　　　　　　 B. C．2 D．3 [解析]　由正弦定理＝，得＝⇒b＝，故选B. [答案]　B (2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，sin B＝，C＝，则b＝(　　) A．1 B．2 C. D. [解析]　由sin B＝，C＝，得B＝，则A＝. 根据正弦定理＝，得b＝＝1. [答案]　A 已知两角及一边类型的解题方法 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边． (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．　 [触类旁通] 1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b＝3，则c＝________. 解析　在△ABC中，∵cos A＝＞0， ∴sin A＝. ∵cos B＝＞0，∴sin B＝. ∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝. 由正弦定理＝，得c＝＝. 答案　 在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形． [解析]　由正弦定理＝， 得sin C＝＝＝， ∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°， b＝＝＝＋1； 当C＝120°时，B＝15°， b＝＝＝－1. ∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°. [母题变式] 把例2中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？ 解析　由正弦定理＝， 得sin A＝＝＝. ∵c＝>2＝a，∴C>A. ∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个，即A只有1个值． [素养聚焦]　利用解三角形时解的个数的判断，把逻辑推理和数学运算等核心素养体现在解题过程中． 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一． (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．　 [触类旁通] 2．(多选题)在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，则c＝(　　) A．1　　　　　　　 B．2 C. D. 解析　由＝，得sin B＝＝. ∵a<b，∴B>A＝30°.∴B为60°或120°. ①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°. 此时，c＝＝＝2. ②当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c＝a＝1. 答案　AB 在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状． [解析]　解法一　由已知得＝， 由正弦定理，得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC的外接圆半径)， 得＝， sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B，即2A＝2B或2A＝π－2B， ∴A＝B或A＋B＝. ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 解法二　由已知得＝， 由正弦定理sin A＝，sin B＝(R为△ABC的外接圆半径)， 得acos A＝bcos B， 即sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B，即2A＝2B或2A＝π－2B， ∴A＝B或A＋B＝. ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． (1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断． (2)判断三角形的形状，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．　 [触类旁通] 3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝3ab，且sin2C＝sin A·sin B，那么△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰且非等边三角形 D．等腰直角三角形 解析　由＝3ab得a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理的推论得cos C＝＝，又0°<C<180°，则C＝60°， 由正弦定理及sin2C＝sin Asin B得c2＝ab，于是得a2＋b2－2ab＝0，整理得a＝b，所以△ABC是等边三角形．故选B. 答案　B 知识落实 技法强化 (1)正弦定理及推论． (2)利用正弦定理解三角形． (3)三角形解的个数的判断． (4)利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状. 已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论. 学科网（北京）股份有限公司 $$