6.4.3 第1课时 余弦定理 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.4.3　余弦定理、正弦定理 学业标准 素养目标 1.掌握余弦定理、正弦定理的形式及证明方法． 2．会运用余弦定理、正弦定理解决基本的解三角形问题．(重点、难点) 3．能够利用余弦定理、正弦定理判断三角形的形状．(重点) 4．能利用余弦定理、正弦定理解决生活中的实际问题．(重点) 1.通过余弦定理、正弦定理的推导，培养数学抽象等核心素养． 2．根据余弦定理、正弦定理解三角形，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 3．通过实际问题转化为数学问题，培养学生数学建模等核心素养. 第1课时　余弦定理 导学1 余弦定理 在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，A＝60°. 这个三角形确定吗？ [提示]　确定． 能否利用平面向量求边BC？如何求得？ [提示]　能． ∵＝－， ∴||2＝||2＋||2－2· ＝||2＋||2－2||||cos A ＝4＋9－2×2×3cos 60°＝7. ∴||＝. 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，利用问题2的推导方法，能否推导出用b，c，A表示a? [提示]　能． ◎结论形成 余弦定理 公式 表达 a2＝b2＋c2－2bccos_A， b2＝a2＋c2－2accos_B， c2＝a2＋b2－2abcos_C 语言 叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝ 导学2 解三角形 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．(　　) (2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．(　　) (3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(　　) (4)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则∠A为锐角．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．在△ABC中，a＝5，b＝7，c＝8，则角B＝(　　) A．90°　　　　　　　 B．120° C．60° D．30° 解析　由余弦定理，得 cos B＝＝＝， 又∵0°<B<180°， ∴B＝60°. 答案　C 3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A＝(　　) A．60° B．45° C．120° D．30° 解析　由cos A＝＝－，∴A＝120°. 答案　C 4．在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，则A＝________. 解析　由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4， 所以c＝－. 由余弦定理，得cos A＝＝， 又A为△ABC的内角，所以A＝. 答案　 (1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若C＝60°，a＝5，b＝8，则c＝(　　) A．7 B．6 C．5 D．8 [解析]　因为C＝60°，a＝5，b＝8， 所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋82－2×5×8×＝49， 解得c＝7(负值舍去)．故选A. [答案]　A (2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b<c，则b＝(　　) A. B．2 C．2 D．3 [解析]　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得22＝b2＋2－2×b×2×， 化简得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4， 因为b<c，所以b＝2. [答案]　B 解决“已知两边及一角”解三角形问题的步骤 (1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．　 [触类旁通] 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝(　　) A．4　　　　　　　　　 B. C．3 D. 解析　cos C＝－cos (A＋B)＝－. 又由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C ＝9＋4－2×3×2×＝17， 所以c＝. 答案　D 在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C. [解析]　根据余弦定理，得 cos A＝ ＝＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝， cos C＝＝＝， ∵C∈(0，π)，∴C＝. ∴B＝π－A－C＝π－－＝π， ∴A＝，B＝π，C＝. [母题变式] 已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数． 解析　已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k＞0)， 由余弦定理的推论，得 cos A＝＝＝， ∵0°<A<180°，∴A＝45°. cos B＝＝＝， ∵0°<B<180°，∴B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°. 已知三角形的三边解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． (2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角．　 [触类旁通] 2．(1)在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则C＝(　　) A．60° B．45°或135° C．120° D．30° (2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cos B＝(　　) A. B. C. D. 解析　(1)∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴a2－c2＋b2＝2abcos C．∴ab＝2abcos C. ∴cos C＝.∴C＝60°. (2)cos B＝＝＝. 答案　(1)A　(2)B 在△ABC中，若(a－c·cos B)·b＝(b－c·cos A)·a，判断△ABC的形状． [解析]　(角化边)∵(a－c·cos B)·b ＝(b－c·cos A)·a， ∴由余弦定理可得 ·b ＝·a， 整理得(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2， 即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2. ∴a2＋b2＝c2或a＝b. 故△ABC为直角三角形或等腰三角形． [母题变式] 将例3中的条件“(a－ccos B)·b＝(b－ccos A)·a”换为“acos A＋bcos B＝ccos C”，其他条件不变，试判断三角形的形状． 解析　由余弦定理知cos A＝， cos B＝，cos C＝， 代入已知条件，得 a·＋b·＋c·＝0， 通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0， 展开整理得(a2－b2)2＝c4. ∴a2－b2＝±c2， 即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2. 根据勾股定理知△ABC是直角三角形． [素养聚焦]　利用三角形形状的判断，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：一是化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；二是化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式．　 [触类旁通] 3．(1)在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形　　　　　 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 (2)在△ABC中，若·＋2＝0，则△ABC的形状一定是(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 解析　(1)在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc， 所以由余弦定理可得， a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc， 所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0， 所以b＝c，结合A＝60°，可得△ABC一定是等边三角形． (2)因为·＋2＝0， 所以accos (π－B)＋c2＝0， 所以accos B＝c2， 由余弦定理的推论可得ac×＝c2， 所以b2＋c2＝a2， 所以△ABC是直角三角形． 答案　(1)D　(2)B 知识落实 技法强化 (1)余弦定理． (2)余弦定理解决的两类问题． (3)利用余弦定理判断三角形的形状. 解三角过程中易忽略三角形中的隐含条件. 学科网（北京）股份有限公司 $$