6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 学业标准 素养目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算． 2．会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题．(重点、难点) 3．分清向量平行与垂直的坐标表示. 1.通过平面向量数量积的坐标运算，培养数学运算等核心素养． 2．通过数量积的坐标运算求模、夹角等问题，提升逻辑推理、数学抽象等核心素养. 导学 平面向量数量积的坐标表示 已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 若i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的向量，则a，b如何用i，j表示？ [提示]　a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. |a|，|b|分别用坐标怎样表示？ [提示]　|a|＝＝； |b|＝＝. 能用a，b的坐标表示a·b吗？ [提示]　a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j) ＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2 ＝x1x2＋y1y2. 　垂直的条件和向量夹角能用坐标表示吗？ [提示]　能． ◎结论形成 1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). 两向量的数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2 两向量垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 2.两个重要公式 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的数量积是向量，其坐标为(x1x2，y1y2)．(　　) (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　) (3)向量的模等于向量坐标的平方和．(　　) (4)||的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知向量a＝(1,0)，b＝(－2,2)，则a与b的夹角为(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析　＝1，＝2，a·b＝－2， 所以cos〈a，b〉＝＝－， 又因为〈a，b〉∈， 所以a与b的夹角为.故选D. 答案　D 3．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________. 答案　2 4．a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝________；a·b＝________. 解析　∵a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)， ∴a＋b＝，∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0， ∴a·b＝2×2＋1×＝3. 答案　0　3 (1)已知a＝(－4,3)，b＝(1,2)，则a2－(a－b)·b＝(　　) A．8　　　　　　　　 B．3＋ C．28 D．32 (2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 [解析]　(1)a2－(a－b)·b＝a2－a·b＋b2＝25－(－4＋6)＋5＝28. (2)由＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得·＝(2,1)·(3，－1)＝5. [答案]　(1)C　(2)A 数量积坐标运算的两条途径 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．　 [触类旁通] 1．(1)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则向量(a＋2b)·c＝(　　) A．(－15,12) B．0 C．－3 D．－11 (2)已知a＝(2，－1)，b＝(3,2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________. 解析　(1)依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4) ＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2) ＝－5×3＋6×2＝－3. (2)设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5， 所以解得 所以c＝. 答案　(1)C　(2) (1)已知向量a＝(2，m)，b＝(3,6)，若|3a＋b|＝|3a－b|，则实数m的值为(　　) A．1 B．－1 C．4 D．－4 (2)已知向量a＝(2,4)，b＝(1，n)，若a∥b，则|3a－nb|等于(　　) A．4 B．12 C．8 D． [解析]　(1)解法一　已知向量a＝(2，m)，b＝(3,6)， 则3a＋b＝(9,3m＋6)，3a－b＝(3,3m－6)， 由|3a＋b|＝|3a－b|可得＝，解得m＝－1. 解法二　∵|3a＋b|＝|3a－b|， ∴(3a＋b)2＝(3a－b)2， 即9a2＋6a·b＋b2＝9a2－6a·b＋b2， ∴12a·b＝0，即a·b＝0， ∴2×3＋6m＝0，m＝－1. (2)因为向量a＝(2,4)，b＝(1，n)，且a∥b， 所以2n＝1×4，解得n＝2， 所以3a－nb＝3(2,4)－2(1,2)＝(4,8)， 所以|3a－nb|＝＝4. [答案]　(1)B　(2)A 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.　 [触类旁通] 2．(1)若a＝(－4,3)，b＝(1,2)，则2|a|2－3a·b＝________. (2)已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2,3)同向，||＝2，则点B的坐标是________． 解析　(1)原式＝2a2－3a·b＝2×(16＋9)－3×(－4＋6)＝50－6＝44. (2)由题意可设＝λa(λ>0)， 所以＝(2λ，3λ)，又||＝2， 所以(2λ)2＋(3λ)2＝(2)2， 解得λ＝2(λ＝－2舍去)． 所以＝(4,6)，又A(1，－2)，所以B(5,4)． 答案　(1)44　(2)(5,4) (1)(2022·新高考全国卷Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 (2)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若λa－2b与a垂直，则实数λ＝________. [解析]　(1)由已知有c＝(3＋t,4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，故＝， 解得t＝5.故选C. (2)解法一　λa－2b＝(λ，λ)－2(2，－3) ＝(λ－4，λ＋6)． ∵(λa－2b)⊥a，∴(λa－2b)·a＝0， ∴(λ－4)＋(λ＋6)＝0， ∴λ＝－1. 解法二　∵(λa－2b)⊥a，∴(λa－2b)·a＝0， 即λa2＝2a·b， ∴λ(1＋1)＝2(1,1)·(2，－3)， 即2λ＝－2，∴λ＝－1. [答案]　(1)C　(2)－1 [素养聚焦]　通过向量的夹角与垂直等问题，把数学运算和逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cos θ＝求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π. (2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π.cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.　 [触类旁通] 3．(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)若平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，且a⊥b，则|a－b|＝________. 解析　(1)解析　解法一(向量法＋坐标法)　因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b.因为a＝(0,1)，b＝(2，x)，所以b2＝4＋x2，a·b＝x，得4＋x2＝4x，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D. 解法二(坐标法)　因为a＝(0,1)，b＝(2，x)，所以b－4a＝(2，x)－4(0,1)＝(2，x)－(0,4)＝(2，x－4)．因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以2×2＋x(x－4)＝0，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D. (2)∵a⊥b，∴a·b＝0，即2x＋3－x2＝0， ∴x＝－1或x＝3. 又∵a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)， ∴a－b＝(－2x－2,2x)， 当x＝－1时，a－b＝(0，－2)， ∴|a－b|＝2； 当x＝3时，a－b＝(－8,6)， ∴|a－b|＝＝10. 答案　(1)D　(2)10或2 知识落实 技法强化 (1)平面向量数量积的坐标表示． (2)若a＝(x，y)，则|a|＝. (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量)． (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝＝(θ为非零向量a，b的夹角). 两向量夹角的余弦公式易记错. 学科网（北京）股份有限公司 $$