6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 学业标准 素养目标 1.掌握数乘向量的坐标运算法则． 2．理解用坐标表示两向量共线的充要条件．(重点) 3．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法．(难点) 1.通过数乘向量的坐标运算，培养数学运算等核心素养． 2．根据两向量共线的坐标表示，提升逻辑推理和数学运算等核心素养. 导学1 数乘运算的坐标表示 设a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.试求3a和2a－b. [提示]　3a＝3(x1i＋y1j)＝3x1i＋3y1j， 2a－b＝(2x1－x2)i＋(2y1－y2)j. 3a与2a－b的坐标分别是什么？ [提示]　(3x1,3y1)，(2x1－x2,2y1－y2)． ◎结论形成 (1)符号表示：已知a＝(x1，y1)，则λa＝λ(x1，y1)＝(λx1，λy1)． (2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 导学2 平面向量共线的坐标表示 已知下列几组向量： ①a＝(0,2)，b＝(0,4)；②a＝(2,3)，b＝(4,6)； ③a＝(－1,4)，b＝(2，－8)；④a＝，b＝. 上面几组向量中，a与b有什么关系？ [提示]　①②中b＝2a；③中b＝－2a；④中b＝－a. 以上几组向量中，a，b共线吗？ [提示]　共线． ◎结论形成 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果用坐标表示，向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则＝.(　　) (2)若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.(　　) (3)若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (b≠0)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b.(　　) (4)向量a＝(1,2)与向量b＝(4,8)共线．(　　) 答案　(1) ×　(2)×　(3)√　(4) √ 2．下列各对向量中，共线的是(　　) A．a＝(2,3)，b＝(3，－2) B．a＝(2,3)，b＝(4，－6) C．a＝(，－1)，b＝(1，) D．a＝(1，)，b＝(，2) 答案　D 3．已知a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝(　　) A．－9　　　　　　　 B．9 C．3 D．－3 答案　B 4．已知P(2,6)，Q(－4,0)，则PQ的中点坐标为________． 解析　根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(－1,3)． 答案　(－1,3) (1)已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(　　) A.　　　　　　　 B. C. D．(8,1) (2)若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8，10)，求＋2，－的坐标． (1)[解析]　＝(－) ＝ ＝(－8,1)＝，∴＝. [答案]　A (2)[解析]　∵＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)， ∴＋2＝(－2,10)＋2(－8,4) ＝(－2,10)＋(－16,8) ＝(－18,18)． －＝(－8,4)－(－10,14) ＝(－8,4)－(－5,7) ＝(－3，－3)． 数量积坐标运算的两个途径：一个是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．　 [触类旁通] 1．已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 解析　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)a－b＝(－1,2)－(2,1) ＝－＝. (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ＝(　　) A. B. C．1 D．2 (2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，判断与是否共线．如果共线，它们的方向是相同还是相反？ (1)[答案]　A (2)[解析]　＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)， ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)， ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴，共线． 又∵＝－2，∴，方向相反． 综上，与共线且方向相反． 向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．　 [触类旁通] 2．(2024·全国甲卷·理)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则(　　) A．x＝－3是a⊥b的必要条件 B．x＝－3是a∥b的必要条件 C．x＝0是a⊥b的充分条件 D．x＝－1＋是a∥b的充分条件 解析　a⊥b⇔x2＋x＋2x＝0⇔x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确．a∥b⇔2x＋2＝x2⇔x2－2x－2＝0⇔x＝1±，故B，D错误． 答案　C 已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标． [解析]　设P点坐标为(x，y)，||＝2||. 当P在线段AB上时，＝2， ∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)， ∴解得 ∴P点坐标为. 当P在线段AB延长线上时，＝－2， ∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)， ∴解得 ∴P点坐标为(－5,8)． 综上所述，点P的坐标为或(－5,8)． [母题变式] 若将例3条件“||＝2||”改为“＝3”，其他条件不变，求点P的坐标． 解析　因为＝3， 所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x,2－y)， 所以解得 所以点P的坐标为. [素养聚焦]　通过共线向量定理的综合应用，把数学运算和逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论．　 [触类旁通] 3．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且＝2，求点G的坐标． 解析　∵D是AB的中点， ∴点D的坐标为， ∵＝2，∴＝2，设G点分别为(x，y)， 利用向量的坐标运算公式可得 x＝＝， y＝＝， 即点G的坐标为. 知识落实 技法强化 (1)平面向量数乘运算的坐标表示及简单应用． (2)两个向量共线的坐标表示． (3)有向线段的定比分点坐标公式. 两个向量共线的坐标表示的公式易记错. 学科网（北京）股份有限公司 $$