6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示&6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6．3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 学业标准 素养目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．(难点) 2．掌握两个向量的和、差的坐标运算法则．(重点) 1.借助向量的正交分解的学习，培养数学抽象和直观想象等核心素养． 2．通过向量的和、差的坐标运算，提升数学运算等核心素养. 导学1 平面向量的正交分解及坐标表示 在平面内，规定{e1，e2}为基底，那么一个向量对e1，e2的分解是唯一的吗？ [提示]　唯一． 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一向量.根据平面向量基本定理，＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？ [提示]　相同． 如果向量也用(x，y)表示，那么这种向量与实数对(x，y)之间是否一一对应？ [提示]　一一对应． ◎结论形成 1．在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)． 2．在平面直角坐标系中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 导学2 平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. a，b的坐标分别是什么？ [提示]　(x1，y1)，(x2，y2)． 试求a－b的坐标． [提示]　a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， 所以a－b的坐标为(x1－x2，y1－y2)． ◎结论形成 文字 符号 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)零向量的坐标是(0,0)．(　　) (2)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　) (3)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　) (4)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4) × 2．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a＝(　　) A．(－2,1)　　　　　　 B．(2，－1) C．(2,0) D．(4,3) 答案　B 3．已知点A(1，－3)，的坐标为(3,7)，则点B的坐标为(　　) A．(4,4) B．(－2,4) C．(2,10) D．(－2，－10) 解析　设点B的坐标为(x，y)，由＝(3,7)＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)＝(3,7)，得B(4，4)． 答案　A 4．如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，以{i，j}作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为________． 解析　由题意知a＝2cos 45°i＋2sin 45°j＝i＋j， 所以a的坐标为(，)． 答案　(，) 如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标以及向量与的坐标． [解析]　由题意及题图知B，D分别是30°角、120°角的终边与单位圆的交点． 设B，D， 由三角函数的定义，得x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝， ∴B，D， 又A，∴＝，＝. 求点、向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标． (2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的起点、终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标．　 [触类旁通] 1．如图，与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，取{i，j}作为基底，分别用i，j表示，，，并求出它们的坐标． 解析　由图形可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6,2)，＝(2,4)，＝(－4,2)． 已知点A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝c，＝b. (1)求a＋b－c； (2)求点M，N的坐标及向量的坐标． [解析]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)a＋b－c＝(5，－5)＋(－6，－3)－(1,8) ＝(－2，－16)． (2)设O为坐标原点． ∵＝－＝c， ∴＝c＋＝(1,8)＋(－3，－4)＝(－2,4)， ∴M(－2,4)． 又∵＝－＝b， ∴＝b＋＝(－6，－3)＋(－3，－4)＝(－9，－7)， ∴N(－9，－7)， ∴＝－＝(－9，－7)－(－2,4)＝(－7，－11)． 平面向量坐标的线性运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．　 [触类旁通] 2．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求＋，－的坐标． 解析　∵＝(－2,10)，＝(－8,4)， ＝(－10,14)， ∴＋＝(－2,10)＋(－8,4)＝(－10,14)， －＝(－8,4)－(－10,14)＝(2，－10)． 已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝，则顶点D的坐标为(　　) A.　　　　　　　 B. C．(4,5) D．(1,3) [解析]　设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝(m，n－2)，解得即点D(4,5)，故选C. [答案]　C [素养聚焦]　通过向量坐标运算的应用，把直观想象和数学运算等核心素养体现在解题过程中． 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等． (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．　 [触类旁通] 3．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2,1)，B(1,3)，则点C的坐标为________． 解析　设C的坐标为(x，y)，则由已知得＝，所以(x，y)＝(－1,2)． 答案　(－1,2) 知识落实 技法强化 (1)平面向量的正交分解及坐标表示． (2)平面向量加、减运算的坐标表示. 已知A，B两点求的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$