6.2.1 向量的加法运算 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6．2.1　向量的加法运算 学业标准 素养目标 1.理解并掌握向量的加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律． 2．掌握向量的加法运算法则，能熟练地进行加法运算．(重点、难点) 3．数的加法与向量的加法的联系与区别. 1.通过向量的加法运算的三角形法则和平行四边形法则，培养逻辑推理、直观想象等核心素养． 2．根据向量的加法的运算和运算律，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. 导学1 向量加法的定义及运算法则 利用向量的方法表示，从景点O到景点A的位移为，从景点A到景点B的位移为，那么经过两次位移后的合位移是(如图所示)，这里向量，，三者之间有什么关系？ [提示]　前两次位移的结果与合位移相同． 如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋中“马”的走法，如果“马”从A点分别经过B点和C点到D点，那么在图中的向量，，三者之间有什么关系？ [提示]　＝，＝，＝＋. ◎结论形成 1．向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2．向量求和的法则 向量求和的法则 三角形 法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 对于零向量与任意向量a，规定有a＋0＝0＋a＝a 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是向量a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 (1)位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型． (2)|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时等号成立. 导学2 向量加法的运算律 数的加法满足交换律和结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律？ [提示]　是． 你能验证向量加法也满足结合律吗？ [提示]　如图，a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． ◎结论形成 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量．(　　) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．(　　) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．　(　　) (4)|a＋b|＝|a|＋|b|.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2.＋＋＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 答案　C 3．在四边形ABCD中，若＝＋，则四边形是(　　) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 答案　D 4．在正方形ABCD中，||＝1，则|＋|＝________. 答案　 如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c. [解析]　解法一　可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.如图，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，则得向量＝a＋c，然后作向量＝b，则向量＝a＋b＋c为所求． 解法二　三个向量不共线，用平行四边形法则来做．如图，(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b； (2)作平行四边形AOBC，则＝a＋b； (3)再作向量＝c； (4)作平行四边形CODE， 则＝＋c＝a＋b＋c. 即即为所求． 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量． (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合． (3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单．　 [触类旁通] 1．如图，已知a，b，c，求作和向量a＋b＋c. 解析　作法：在平面内任取一点O，如图所示， 作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c. (1)向量(＋)＋(＋)＋化简后为(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. (2)(多选题)设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是(　　) A．a∥b B．a＋b＝a C．a＋b＝b D．|a＋b|＝|a|＋|b| [解析]　(1)向量(＋)＋(＋)＋ ＝＋＋＋＋＝. (2)a＝(＋)＋(＋) ＝＋＋＋＝0， 所以0∥b，A正确；0＋b＝b，C正确； |0＋b|＝|0|＋|b|，D正确． [答案]　(1)D　(2)ACD 解决向量加法运算时应关注两点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算． (2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.　 [触类旁通] 2．设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)＋＋； (2)＋＋＋； (3)＋＋＋＋. 解析　(1)＋＋＝(＋)＋ ＝＋＝. (2)＋＋＋ ＝(＋)＋(＋) ＝000. (3)＋＋＋＋ ＝＋＋＋＋ ＝＋＋＋ ＝＋＋＝＋＝0. 在某地抗震救灾时，一架飞机先从A 地按北偏东35° 方向飞行800 km到达B地接受伤人员，然后从B地按南偏东55°方向飞行800 km将受伤人员送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次飞行的位移之和． [解析]　如图所示，设，分别表示飞机从A 地按北偏东35° 方向飞行800 km到达B地，从B地按南偏东55° 方向飞行800 km到达C 地． 则飞机飞行的路程是＋ ，两次飞行的位移的和是＋＝. 依题意，有＋＝800＋800＝1 600， 因为∠ABC＝35°＋55°＝90° ， 所以＝＝＝800. 由题可知∠BAC＝45° ，所以方向为北偏东35°＋45°＝80° ， 故飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移之和的大小为800 km，方向为北偏东80°. [素养聚焦]　利用向量加法的实际应用，把数学建模等核心素养体现在解题过程中． 向量加法的实际问题的解题步骤 (1)用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量． (2)利用平行四边形法则或三角形法则求向量的和． (3)利用直角三角形知识解决问题．　 [触类旁通] 3．在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． 解析　作出图形如图： 船速v船与岸的方向所成角度为α，由图示可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，可知四边形ABCD为平行四边形． 在Rt△ABC中， ＝＝v水＝10 (m/min)，＝v船＝20 (m/min)， 所以cos α＝＝＝， 所以α＝60°，即船行进的方向与水流方向成120°角． 知识落实 技法强化 (1)向量加法的三角形法则． (2)向量加法的平行四边形法则． (3)向量三角不等式． (4)向量加法的运算律． (5)向量加法的实际应用. 使用向量加法的三角形法则时要注意向量首尾相接，使用平行四边形法则时要注意把向量移到共同起点. 学科网（北京）股份有限公司 $$