第五章二次函数同步练习 2024-2025学年苏科版数学九年级下册

第五章二次函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．函数的最大值为4 B．函数图象关于直线对称 C．当时，y随x的增大而减小 D．x＝1或是方程的两个根 2．已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：；；③当时，y随x的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为， ；⑤若m， n为方程的两个根，则且，其中正确的结论有（    ）个．    A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，在同一直角坐标系中，，函数和的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   5．如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 6．若实数x，y，m满足，，则代数式的值可以是（   ） A．3 B． C．2 D． 7．抛物线 经过（-2，m），（1，m）两点，若点A（x1，y1），B（x2，y2），也在抛物线上，且满足，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 8．将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 9．在下列二次函数中，其图像的对称轴为直线的是（    ） A． B． C． D． 10．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 11．下列函数中，是二次函数的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．若实数x，y，m满足，，则代数式的值可以是（    ） A．3 B． C．2 D． 二、填空题 13．已知二次函数的图象上两点，若，则 ． 14．抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为 ． 15．抛物线的顶点坐标 ． 16．如图，二次函数与一次函数的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是 ． 17．若为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是 ．（用“<”连接） 三、解答题 18．如果抛物线的顶点在抛物线上，同时，抛物线的顶点在抛物线上，那么，我们称抛物线与关联． (1)已知抛物线①：与②：，请判断抛物线①与抛物线②是否关联，并说明理由； (2)将抛物线：沿x轴翻折，再向右平移m（m＞0）个单位，得到抛物线，若抛物线与关联，求m的值； (3)点A为抛物线：y＝﹣2x2+4x+3的顶点，点B为抛物线关联的抛物线的顶点（点B位于x轴的下方），是否存在以AB为斜边的等腰直角三角形ABC，使其直角顶点C在x轴上？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 20．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性． 21．已知抛物线经过，，三点，求该抛物线的解析式． 22．已知抛物线的顶点为，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为直线BC抛物线上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标． 23．已知二次函数图象经过点和．求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． 24．某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 《第五章二次函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C B D A D A A 题号 11 12 答案 B D 1．C 【分析】根据二次函数的图象结合二次函数的性质即可得出、二次函数对称轴为以及二次函数的顶点坐标，再逐项分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：观察二次函数图象，发现： 开口向下，，抛物线的顶点坐标为，对称轴为，与轴的一个交点为． A、， 二次函数的最大值为顶点的纵坐标，即函数的最大值是4，选项正确，不符合题意； B、二次函数的对称轴为， 函数的图象关于直线对称，选项正确，不符合题意； C、当时，随的增大而增大，选项错误，符合题意； D、二次函数的图象关于直线对称，且函数图象与轴有一个交点， 二次函数与轴的另一个交点为． x＝1或是方程的两个根，选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合函数图象以及二次函数的性质求解． 2．B 【分析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断． 【详解】解：∵ ∵开口向上，对称轴为x=1， ∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质． 3．C 【分析】由开口方向确定a，由与y轴交点判c，由对称轴及a判b，结合对称轴及的点即可判a，c关系，根据交点即对称性即可判方程的根，即可得到答案； 【详解】解：由函数图象可得， ，，， 则，故①正确； ，得， ∵时，， ∴， ∴， ∴，故②正确； 由图象可知，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故③错误； ∵抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线， ∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， ∴的两个根为，， ∴的两个根为，， ∴一元二次方程的两根分别为， ，故④正确； ∵该函数与x轴的两个交点为，， ∴该函数的解析式可以为， 当时，， ∴当对应的x的值一个小于，一个大于2， ∴若m，为方程的两个根，则且，故⑤正确； 故选：C． 【点睛】本题考查根据二次函数图像判断各个式子的值，解题的关键是根据图像判断各项系数与0的关系，结合对称轴及与x轴交点确定方程的解． 4．C 【分析】根据一次函数、二次函数的图象与性质逐项判断即可求解． 【详解】解： A.∵抛物线开口向上，∴，∵直线从左至右下降，∴，∴k的取值矛盾，故原选项不符合题意； B. 由直线解析式得直线与y轴交点为，与直线图象矛盾，故原选项不符合题意； C.∵抛物线开口向下，∴，∵直线从左至右下降，∴，k的取值一致且直线与y轴交于负半轴，故原选项有可能正确，符合题意； D. ∵抛物线开口向下，∴，∵直线从左至右上升，∴，∴k的取值矛盾，故原选项不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的图象与性质，熟知两种函数的图象与性质是解题关键． 5．B 【分析】中，，且，可得；再由平行线的性质得出，即，进而证明，最后根据三角形的面积公式，求出与之间的函数关系式． 【详解】解：如图所示， ∵中，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识点．解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系． 6．D 【详解】由题意可得解得 ∴，∵，∴A，B，C不符合题意，D符合题意． 7．A 【分析】根据二次函数的对称轴求出a=b，计算即可判断； 【详解】解：∵抛物线经过（-2，m），（1，m），可知对称轴为：，即a=b， ，， ， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，即， 故选： A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用对称性求出对称轴从而得出a，b关系是解题关键． 8．D 【分析】根据抛物线绕原点O旋转得到旋转后的抛物线与原抛物线关于原点对称，即可得到答案； 【详解】解：∵抛物线绕原点O旋转， ∴旋转后的抛物线与原抛物线关于原点对称， ∴旋转后的抛物线：， 即． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是根据原点旋转得到关于原点对称． 9．A 【分析】根据二次函数顶点式的图像与性质直接求解即可得到答案． 【详解】解：A、的对称轴为； B、的对称轴为； C、的对称轴为； D、的对称轴为； 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数顶点式的图像与性质，熟记二次函数顶点式的图像与性质是解决问题的关键． 10．A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：A． 11．B 【分析】根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解：①，是二次函数，符合题意； ②，不符合二次函数的定义，不是二次函数； ③，是二次函数，符合题意； ④，不符合二次函数的定义，不是二次函数； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如：这样的函数是二次函数是解题的关键． 12．D 【详解】由题意可得解得 ∴，∵，∴A，B，C不符合题意，D符合题意． 13． 【分析】根据抛物线的轴对称的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为：，两点在抛物线上，且， ， 解得，， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，根据抛物线的轴对称的性质是解本题的关键． 14． 【分析】根据题意可知抛物线的顶点坐标为，进而可得该抛物线关于x轴对称的顶点坐标为，然后问题可求解． 【详解】解：由抛物线可知顶点坐标为， ∴该抛物线关于轴对称的抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质及轴对称，熟练掌握二次函数的性质及轴对称是解题的关键． 15． 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，把二次函数的解析式改成顶点式，即可求得顶点坐标．转化成顶点式是解题的关键． 【详解】∵， ∴抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 16．或 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求解．根据抛物线与直线交点坐标，结合图象求解． 【详解】解：抛物线与直线交点坐标为，， 或时，抛物线在直线上方， 使成立的的取值范围是或． 故答案为：或 17． 【分析】分别将代入解析式分别计算出的值，然后比较大小． 【详解】解：把代入得， 把代入得， 把代入得， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 18．(1)抛物线①与抛物线②关联，理由见解析 (2)m＝ (3)存在，点C的坐标为：（﹣2，0）或（﹣，0）或（4，0）或（，0） 【分析】（1）根据两抛物线的关联依次判断即可； （2）根据两抛物线关联的定义直接列式得出结论； （3）分当点C位于AD左侧和当点C位于AD右侧，借助关联的意义设出点C坐标，表示出点B坐标代入抛物线解析式即可求出点C坐标． 【详解】（1）解：由①知，， ∴抛物线①：的顶点坐标为（1，5）， 把x＝1代入抛物线②：，得y＝5， ∴抛物线①的顶点在抛物线②上， 又由②， ∴抛物线②的顶点坐标为（﹣1，﹣3）， 把x＝﹣1代入抛物线①中，得，y＝﹣3， ∴抛物线②的顶点在抛物线①上， ∴抛物线①与抛物线②关联． （2）抛物线沿x轴翻折后抛物线为， 即：， 设平移后的抛物线解析式为， 把x＝1，y＝5代入得， ∴m＝±， ∵m＞0， ∴m＝， （3）①当点C位于AD左侧时，过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，如图1， ∴△ACD≌△CBE， ∴CE＝AD，BE＝CD 设C（c，0）， ∵点B在x轴下方， ∴点B的纵坐标为c﹣1； Ⅰ、当点C在x轴负半轴上时，即：c＜0， ∴B（c+5，c﹣1）， 把B（c+5，c﹣1），代入中得，， ∴c＝﹣2或c＝﹣， ∴C（﹣2，0）或（﹣，0）， Ⅱ、当点C在x轴正半轴上时，即：0＜c＜1 把B（5+c，c﹣1），代入中得，， ∴c＝﹣2或c＝﹣（两个都不符合题意，舍去）， ②当点C位于AD右侧时， 设C（c，0），同①的方法得出B（c﹣5，1﹣c）， 将B（c﹣5，1﹣c）代入中得，， ∴c＝4或c＝， ∴C（4，0）或（，0）， 即：点C的坐标为：（﹣2，0）或（﹣，0）或（4，0）或（，0）． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程，分类讨论的思想，理解两抛物线关联是解本题的关键． 19．(1)顶点， (2)抛物线，上，y轴（或直线） (3)减小，增大 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握的性质是解题关键． （1）根据的图象得出顶点位置及坐标； （2）根据的图象得出其形状、开口方向及对称轴； （3）根据的图象得出其性质． 【详解】（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是． 故答案为：顶点， （2）二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线）． 故答案为：抛物线，上，y轴（或直线） （3）当时，随着x值的增大，y的值减小；当时，随着x值的增大，y的值增大． 故答案为：减小，增大 20．(1)或 (2)当时，该函数图像的开口向下 (3)当时，原函数有最小值 (4)见解析 【分析】(1)由二次函数的定义可得故可求m的值． (2)图像的开口向下，则，结合（1）中的结果，即可得m的值； (3)函数有最小值，则，结合（1）中的结果，即可得m的值；； (4)根据（1）中求得的m的值，先求出抛物线的解析式，函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定． 【详解】（1）根据题意，得， 解得， ∴当或时，原函数为二次函数． （2）∵图像开口向下， ∴， ∴， ∴， ∴当时，该函数图像的开口向下． （3）∵函数有最小值， ∴， 则， ∴， ∴当时，原函数有最小值． （4）当时，此函数为，开口向下，对称轴为y轴， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，此函数为，开口向上，对称轴为y轴， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的增减性．二次函数的最值是顶点的纵坐标，当时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察． 21． 【分析】根据抛物线经过，得出，再把，代入得到二元一次方程组，求解即可得到抛物线的完整解析式． 【详解】解：∵抛物线经过， ∴， 把，代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，根据抛物线经过的点代入求解参数是解题的关键． 22．(1) (2) 【分析】（1）根据题意设函数顶点式，将点（2，-1），（0，3）代入，化成一般式即可； （2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较的纵坐标，可得DP的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴． ∵点在抛物线上， ∴． 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，作PD垂直于x轴交BC于点D． ∵抛物线的解析式为， ∴点B的坐标为，则OB＝3． ∵点， ∴可求得直线BC的解析式为． 设，，则，． ， 整理得． ∵， ∴当时，有最大值，则P点坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，解（2）的关键是平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出DP的长． 23．，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．先用待定系数法求出函数解析式，再化为顶点式求解即可． 【详解】解：把点和代入， 得解得 ∴二次函数的表达式为， ∵， ∴图象的顶点坐标为． 24．(1)这种产品产量的年增长率为 (2)2014年这种产品的产量应达到110万件 【分析】（1）通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率； （2）依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决． 【详解】（1）解：设这种产品产量的年增长率为x， 根据题意列方程得， 解得，（舍去）． 答：这种产品产量的年增长率为． （2）解：（万件）． 答：2014年这种产品的产量应达到110万件． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． 学科网（北京）股份有限公司 $$