精品解析：四川省绵阳南山中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

绵阳南山中学2025年春季高二3月月考 数学试题 命题人：卿小平 审题人：羊左佳佳 本测评题分试题卷和答题卷两部分，试题卷共4页，满分150分，时间120分钟. 注意事项： 1. 答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔填在答题卡的对应位置上； 2. 选择题的答案，必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑； 3. 请用0.5毫米的黑色墨水签字笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色墨水签字笔. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知数列前4项为1，3，6，10，则第10项为（ ） A. 28 B. 30 C. 44 D. 55 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列的前4项推出数列的递推公式，再利用累加法求得数列的通项公式，代值计算即得. 【详解】由题意，数列 满足，， ，，， 则由迭代法可得： ， 故数列第10项为：. 故选：D. 2. 已知2既是2m与n的等差中项，也是m与2n的等比中项，则m，n的等比中项为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差中项与等比中项的性质即可求解. 【详解】2是与的等差中项，所以， 2是与的等比中项，所以， 解得，所以的等比中项为. 故选：. 3. 用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数学归纳法的定义可得结论. 【详解】由数学归纳法证明时，结论成立， 即需证明成立， 即必须证得右边. 故选C. 4. 若是函数的导数，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由导数的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】由导数的定义可得， 则. 故选：B 5. 已知数列为正项等比数列，，则的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质计算即可. 【详解】由数列为正项等比数列，，可得，所以， 所以. 故选：B. 6. 设是等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得成等差数列，计算即可求得的值. 【详解】由是等差数列的前n项和，则成等差数列， 因为，，所以，， 所以，所以，所以. 故选：A. 7. 已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数的图象，利用导数的几何意义和割线的倾斜角与斜率的关系逐一判断即得.， 【详解】 对于①和②，分别过点作函数的图象的切线， 由图易得，直线的倾斜角满足，故直线的斜率， 根据导数的几何意义，可得，即②正确，①错误； 对于③，过点作直线，则直线的斜率为， 由图知，直线的倾斜角满足，故，即，故③正确； 对于④，如图，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，连接， 则，于是直线的斜率， 由图知直线的倾斜角满足，故，即，故④正确. 故选：D. 8. 已知数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，结合数列的性质，列出不等式组，解之即得. 【详解】因，且数列是递增数列， 则有，解得. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分. 9. 已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ） A. 常数数列既是等差数列也是等比数列 B. 若为等差数列，则为等比数列 C. 若，则数列为等比数列 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的定义式和相关计算易判断A，B项；利用数列的前n项和为与通项的关系计算即可判断C项；对于D项，由数列递推式可推得，从而得到数列的奇数项构成首项为10，公差为的等差数列，利用等差数列的通项公式计算即得. 【详解】对于A，当数列是由0组成的常数数列时，显然不是等比数列，故A错误； 对于B，设等差数列的公差为时，有， 由为正常数可知，为等比数列，故B正确； 对于C，由，可得时，， 当时，， 因为当时，，故数列不是等比数列，故C错误； 对于D，因，故， 两式相减可得：，即数列的奇数项构成首项为10，公差为的等差数列， 故，故D正确. 故选：BD. 10. 在等差数列中，首项，公差，前n项和为，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则必有 B. 若，则取最大值时 C. 若，则必有 D. 若，则必有 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由已知可得，再结合求和公式和进行判断；对于B，由已知可得，结合已知可判断；对于C，由已知可得，进而可得，可判断；对于D，由已知可得，利用作差法比较大小可判断. 【详解】对于A，根据等差数列的性质，若，则，则， ，故A正确； 对于B，若，则，又，所以， 则是中最大的项，故B不正确． 对于C，若，则，即，又，所以， 所以，故C正确， 对于D，由，则，即，所以，所以， ，故D正确． 故选：ACD. 11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为，有，，前n项和为，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（ ） A. B. 该数列的前2025项中能被3整除的有506项 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】观察分析“斐波那契数列”的特点和性质，探索其规律，依次判断各选项的正确性即可. 【详解】对A：因为，即， 所以， 所以A正确； 对B：因为“斐波那契数列”的前若干项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，它们除以3所得的余数为：1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…，可以发现余数是以1，1，2，0，2，2，1，0为周期的，在一个周期内有两个能被3整除的数. 又，所以该数列的前2025项中能被3整除的有个.故B正确； 对C： ，故C不正确； 对D：因为 因为，所以.故D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卷中的横线上. 12. 已知数列和都是等差数列，且前n项和分别为，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的前n项和的特征设出，的表示式，再将所求项的比式拼凑成和的比式，赋值代入化简即得. 【详解】因数列和都是等差数列，且前n项和分别为，， 由，可设，， 则， . 故答案为：. 13. 已知数列满足，，则数列通项公式为______. 【答案】， 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，变形后对进行赋值，猜想数列的通项公式，再用数学归纳法证明即得. 【详解】由可得（*）， 因，则，，，，…… 归纳这个规律，猜想：，. 下面用数学归纳法证明这个猜想. （1）当时，，猜想成立； （2）假设当时，猜想成立，即， 则当时，由（*）可得， 即当时，猜想也成立， 由（1）（2）可知，猜想对任何都成立. 故答案为：，. 14. 若数列的通项公式为，则数列中的最大项是第______项. 【答案】5或6 【解析】 【分析】根据数列的通项公式，利用作差比较法判断数列的增减性即可推理得到. 【详解】因，则由 ， 当时，，当时，可得，当时，， 即， 故数列中的最大项是第5或6项. 故答案为：5或6. 四、解答题：共6小题，满分77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列首项为，且满足. （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明如下： 由题意，数列满足，即， 则， 又由，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）变形得到，从而得到为首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，得到， 所以数列的前项和. 16. 已知为数列的前n项和，，. （1）求的通项公式； （2）设数列前n项的和为，，，求正整数的最小值. 【答案】（1） （2）24 【解析】 【分析】（1）根据题意，当时，，两式相减，求得，结合累乘法，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）得，结合裂项相消法，求得，得到不等式，进而求得的最小值. 【小问1详解】 解：当时，，因为， 两式相减，可得， 所以，可得， 又因为，，…，， 累乘得，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知，可得， 所以， 所以，解得，故的最小值为24. 17. 已知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且. （1）求的通项公式； （2）在和之间插入n个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意，由等差中项的性质、等比数列的通项公式及等比数列的前项和公式即可求解； （2）由题意结合等差数列的性质可得，，由错位相减求和法即可求解 【小问1详解】 设数列的公比为q， 由，，成等差数列可得， 故，解得， 由可得，解得， 故，即数列的通项公式为，. 【小问2详解】 由（1）知，所以，则， 所以①， ②， 由①－②得： ，所以. 18. 某人今年月初向银行申请贷款12万元用于消费，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分12个月还清.银行给他提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息），贷款月利率都为0.3%. （1）若采取等额本金还贷方式，求他第一个月还贷需支付多少利息；还清贷款共支付多少利息. （2）若采取等额本息的还贷方式，设他每月还贷m元（包括本金和利息）， ①求第一个月还贷后所欠银行贷款为多少元（用含m的式子表达）； ②求出m的值； ③判断等额本息与等额本金的还贷方式哪种支付利息总额多，多多少元？ （参考数据，，） 【答案】（1）元，2340元 （2）①元；②元；③等额本息支付的利息总额多1980元. 【解析】 【分析】（1）按照等额本金的还贷方式，分别计算出从第一次还贷起每次支付的利息，判断构成等差数列，利用等差数列求和公式计算即得； （2）①利用利息计算公式计算即得；②设第n个月还贷后所欠银行贷款为，推理得到，构造出等比数列，求得数列的通项，利用，代入计算即可求得m的值；③由①和②计算的结果，即可比较出两种支付形式中等额本息的方式支付利息总额多. 【小问1详解】 第一次还贷支付的利息：元； 因为每月支付本金为10000元， 所以第二次还贷支付的利息：元； 所以第三次还贷支付的利息：元； ……，从而每月支付的利息构成等差数列. 所以利息总额为元. 【小问2详解】 ①第一个月还贷后所欠银行贷款为 ； ②第二个月还贷后所欠银行贷款为， 设第n个月还贷后所欠银行贷款为，则 ，，， 所以， 所以是以为首项，1.003为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以， 所以元； ③按照等额本息，计算出12个月产生的总利息为， 由元，可知等额本息比等额本金的还贷方式多支付1980元. 19. 已知数列的前n项和为，若对，有且仅有一个，使得，则称为“K数列”.记，，称数列为数列的“配对数列”. （1）若数列的前四项依次为1，2，0，2，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由； （2）若，证明数列为“K数列”，并求它的“配对数列”的通项公式； （3）已知正项数列为“K数列”，且数列的“配对数列”为等差数列，证明：. 【答案】（1）数列不是“K数列”，理由见解析 （2）证明见解析， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得,判断，结合，不能满足即可判断； （2）先由求出，再根据“K数列”的定义，分和解对应不等式，即可判断并求出其“配对数列”的通项公式； （3）先探究得出“配对数列”的公差，再讨论时，推出矛盾得到，接着探究时，由得出矛盾，从而得出，进而得出，即可进一步推出. 【小问1详解】 由题意得，，，，……，可知， 因为，所以不存在，使得， 故数列不是“K数列”. 【小问2详解】 因为，所以当时，； 当时，； 因不满足，故， 令，即， 则当时，有，得； 当时，有， 故，即， 则对每一个，有且仅有一个且，使得， 综上，对任意，有且仅有一个，使得， 所以数列为“K数列”. ， 即数列的“配对数列”的通项公式为. 【小问3详解】 因为数列是正项“K数列”，所以数列单调递增， 所以，故， 因， 则，故由得， 又数列的“配对数列”为等差数列， 故其公差， 因为，所以， 若，则当时，，与矛盾， 故，所以，，即， 对于，若，则，与正项数列矛盾， 所以，故， 所以，故， 所以， 又，， 故，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳南山中学2025年春季高二3月月考 数学试题 命题人：卿小平 审题人：羊左佳佳 本测评题分试题卷和答题卷两部分，试题卷共4页，满分150分，时间120分钟. 注意事项： 1. 答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔填在答题卡的对应位置上； 2. 选择题的答案，必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑； 3. 请用0.5毫米的黑色墨水签字笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色墨水签字笔. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知数列前4项为1，3，6，10，则第10项为（ ） A. 28 B. 30 C. 44 D. 55 2. 已知2既是2m与n的等差中项，也是m与2n的等比中项，则m，n的等比中项为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（ ） A. B. C. D. 4. 若是函数的导数，且，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知数列为正项等比数列，，则的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 15 D. 16 6. 设是等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 8. 已知数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分. 9. 已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ） A. 常数数列既是等差数列也是等比数列 B. 若为等差数列，则为等比数列 C. 若，则数列为等比数列 D. 若，，，则 10. 在等差数列中，首项，公差，前n项和为，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则必有 B. 若，则取最大值时 C. 若，则必有 D. 若，则必有 11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为，有，，前n项和为，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（ ） A. B. 该数列的前2025项中能被3整除的有506项 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卷中的横线上. 12. 已知数列和都是等差数列，且前n项和分别为，，若，则______. 13. 已知数列满足，，则数列通项公式为______. 14. 若数列的通项公式为，则数列中的最大项是第______项. 四、解答题：共6小题，满分77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项为，且满足. （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前项和. 16. 已知为数列的前n项和，，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前n项的和为，，，求正整数的最小值. 17. 已知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且. （1）求的通项公式； （2）在和之间插入n个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前n项和. 18. 某人今年月初向银行申请贷款12万元用于消费，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分12个月还清.银行给他提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息），贷款月利率都为0.3%. （1）若采取等额本金的还贷方式，求他第一个月还贷需支付多少利息；还清贷款共支付多少利息. （2）若采取等额本息的还贷方式，设他每月还贷m元（包括本金和利息）， ①求第一个月还贷后所欠银行贷款为多少元（用含m的式子表达）； ②求出m的值； ③判断等额本息与等额本金的还贷方式哪种支付利息总额多，多多少元？ （参考数据，，） 19. 已知数列的前n项和为，若对，有且仅有一个，使得，则称为“K数列”.记，，称数列为数列的“配对数列”. （1）若数列的前四项依次为1，2，0，2，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由； （2）若，证明数列为“K数列”，并求它的“配对数列”的通项公式； （3）已知正项数列为“K数列”，且数列的“配对数列”为等差数列，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $