精品解析：山西省吕梁市临县部分学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

山西省2024-2025学年八年级第二学期阶段一质量检测 数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下面各组数据为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，4，5 B. 5，12，13 C. 8，10，12 D. 7，15，17 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 化简结果是（ ） A. B. C. D. 12 5. 如图，在中，，，在数轴上，以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 2 6. 下列各式中，化简结果正确是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一条笔直的铁路的同侧有两个村庄，，它们到铁路的距离分别为和，分别过，两点作的垂线，垂足为，，测量得．现在要在铁路上建一个土特产收购站，使得，两村到站的距离相等，则站到点的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，则长为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 10. 如图，长方体的长、宽、高分别为3，2，2，点是长方体的顶点，点是棱的中点，一只蚂蚁由处沿长方体表面爬到处，最短路程为（ ） A. B. C. D. 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是______． 12. 最简二次根式与可以合并，则_______． 13. 已知，则______． 14. 一切运动物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，表示物体的质量，单位是千克，表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名运动员在匀速跑步，他的体重是60千克，若动能是1000焦耳，则该运动员的跑步速度为______米/秒（结果保留根号）． 15. 如图，在中，．沿过点的直线折叠，使点落在斜边上的点处，折痕为，连接交于点，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）． （2）． 17. 小明在公园里荡秋千，秋千的绳子的长度为，点在同一条铅直的直线上．秋千静止时，绳子与水平地面是垂直的，点距离地面，当他荡到最高点处时，秋千的绳子与垂直方向的夹角为（如图），此时，小明距离地面的高度是多少？（提示：结果保留根号） 18. 勾股定理是几何学中的重要定理，它描述了直角三角形三边之间的关系．我们可以从不同的角度对勾股定理进行探索．如图1，在直角三角形中，．分别以为边长向外作正方形、正方形和正方形，其面积分别记作． （1）图1中，与之间的数量关系为______，直角三角形的三边之间的数量关系为________． （2）如图2，若用半圆代替正方形，请求出三个半圆面积之间的数量关系． 19. 阅读下列解题过程： 像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． （1）计算：_______ （2）比较大小：_______（用“>”“<”或“=”填空）． （3）计算：． 20. 如图，在中，，点，分别是，上的点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：． （2）求证：是等腰三角形． 21. 如图，有一块面积为300平方分米的长方形铁皮，已知该长方形铁皮的长、宽之比为． （1）求长方形铁皮的长与宽（结果保留根号）． （2）若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子，剪掉的四个角都是面积为32平方分米的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 22. 如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． （1）小方形纸片的边长为 ； （2）在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a，小数部分为b，求的值； （3）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 23 综合与探究 已知，如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．分别将点和点沿轴向右移动5个单位长度，得到点和点，连接与交于点． （1）请直接写出：_____，______． （2）请判断与的位置关系，并证明你的结论． （3）如图2，若将点沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度从开始移动秒，同时将点沿轴正方向以同样的速度从开始移动，连接与交于点． ①证明：为的中点． ②当是直角三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山西省2024-2025学年八年级第二学期阶段一质量检测 数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下面各组数据为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，4，5 B. 5，12，13 C. 8，10，12 D. 7，15，17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理．根据题意逐一对选项按照进行计算，即可得到本题答案． 【详解】解：A选项，，故不符合题意， B选项，，能构成直角三角形，故符合题意， C选项，，故不符合题意， D选项，，故不符合题意， 故选：B． 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主要考查了二次根式的意义，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式有意义的条件得到，解之即得． 【详解】解：根据题意得，， 解得:． 故选：． 3. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，熟记最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； B、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，则此项符合题意； D、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 4. 化简结果是（ ） A. B. C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式化简性质，灵活运用二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式化简性质对进行化简即可解答． 【详解】解：． 故选A． 5. 如图，在中，，，在数轴上，以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和用数轴上的点表示无理数，熟练掌握知识点是解题的关键，先利用勾股定理求出的长度，再根据在数轴的正负半轴求解即可． 【详解】在中，，， ∴， ∵以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点， ∴这个点表示实数是， 故选：B． 6. 下列各式中，化简结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根、二次根式的性质等知识点，理解算术平方根和平方根的区别与联系是解题的关键． 根据算术平方根、二次根式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意． 故选D． 7. 如图，一条笔直的铁路的同侧有两个村庄，，它们到铁路的距离分别为和，分别过，两点作的垂线，垂足为，，测量得．现在要在铁路上建一个土特产收购站，使得，两村到站的距离相等，则站到点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，两村到站的距离相等，则，又，，所以，然后由勾股定理得，设，则，再代入求出的值即可． 【详解】解：∵，两村到站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴站到点的距离为， 故选：． 8. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式加减运算，二次根式乘除运算等．根据题意逐一对选项进行计算即可． 【详解】解：∵无法计算，故A选项不正确， ∵，故B选项正确， ∵，故C选项不正确， ∵，故D选项不正确， 故选：B． 9. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点C作于点D，构造和，利用勾股定理和含角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：过点C作于点D，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D 10. 如图，长方体的长、宽、高分别为3，2，2，点是长方体的顶点，点是棱的中点，一只蚂蚁由处沿长方体表面爬到处，最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段．根据展开图的不同类型，利用勾股定理计算比较即可． 【详解】解：如图所示， 根据题意，长方体的长 ，宽 ，高 ， 根据展开图，得到解法如下： 第一种展开图， 根据题意，得 ； 第二种展开图中， 根据题意，得 ； 第三种展开图中， 根据题意，得 ； 故爬行的最短路程为， 故选：C． 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案． 详解】解：原式： ， 故答案为： ． 【点睛】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 12 最简二次根式与可以合并，则_______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，根据同类二次根式概念建立等式求解，即可解题． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， ， 解得， 故答案为：7． 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式，二次根式的加减，二次根式的乘法；根据平方差公式把原式整理成，再把代入，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 14. 一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，表示物体的质量，单位是千克，表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名运动员在匀速跑步，他的体重是60千克，若动能是1000焦耳，则该运动员的跑步速度为______米/秒（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根、二次根式的应用等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 由可得，然后将相关数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，（米/秒）． 故答案为：． 15. 如图，在中，．沿过点的直线折叠，使点落在斜边上的点处，折痕为，连接交于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理 ，相似三角形的判定与性质，折叠问题；根据勾股定理得到，求出，再分别证出和，再根据相似三角形的性质计算求解即可． 【详解】解：在中： 解得， 由折叠得： ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ 解得： ∴ 在中， 设 ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ 即 解得： ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式加减计算，二次根式有理化，完全平方公式等． （1）先将每个二次根式化简后再进行加减即可； （2）先将第一个二次根式有理化，再将后边的完全平方展开，再进行加减运算． 【小问1详解】 解：原式， ； 小问2详解】 解：， ， ， ， ． 17. 小明在公园里荡秋千，秋千的绳子的长度为，点在同一条铅直的直线上．秋千静止时，绳子与水平地面是垂直的，点距离地面，当他荡到最高点处时，秋千的绳子与垂直方向的夹角为（如图），此时，小明距离地面的高度是多少？（提示：结果保留根号） 【答案】小明距离地面的高度是 【解析】 【分析】本题考查勾股定理应用，平行线间的性质，直角三角形角所对的边的关系等．根据题意过点作于点，继而得到，再由勾股定理得，再利用“平行线间的距离相等”可知本题答案． 【详解】解：过点作于点． ， ． 在中，， ． 根据勾股定理得：． 根据“平行线间的距离相等”可知： ， 答：当荡到最高点处时，小明距离地面的高度是． 18. 勾股定理是几何学中的重要定理，它描述了直角三角形三边之间的关系．我们可以从不同的角度对勾股定理进行探索．如图1，在直角三角形中，．分别以为边长向外作正方形、正方形和正方形，其面积分别记作． （1）图1中，与之间的数量关系为______，直角三角形的三边之间的数量关系为________． （2）如图2，若用半圆代替正方形，请求出三个半圆面积之间的数量关系． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键， （1）根据勾股定理与正方形的面积公式即可得到，与之间的数量关系，也从而得到之间的数量关系； （2）根据圆的面积公式即可得到答案． 【小问1详解】 解：由勾股定理可得：， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：以为直径的半圆的面积为． 以为直径的半圆的面积为． 以为直径的半圆的面积为． 根据勾股定理得， ∴． ∴以为直径的半圆的面积与以为直径的半圆的面积之和等于以为直径的半圆的面积． 19. 阅读下列解题过程： 像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． （1）计算：_______ （2）比较大小：_______（用“>”“<”或“=”填空）． （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，平方差公式， （1）根据题意利用平方差公式对其进行有理化，即可得到本题答案； （2）先将两个分数有理数再进行比较大小即可； （3）先将每个分数有理化，再进行合并计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 20. 如图，在中，，点，分别是，上的点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：． （2）求证：是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理逆定理是关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行证明即可； （2）利用等腰三角形的判定和性质、直角三角形两锐角互余、对顶角相等进行证明即可． 【小问1详解】 证明：， ． 是直角三角形，． ． 【小问2详解】 ， ． ， ． ． ， ． ． 是等腰三角形． 21. 如图，有一块面积为300平方分米的长方形铁皮，已知该长方形铁皮的长、宽之比为． （1）求长方形铁皮的长与宽（结果保留根号）． （2）若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子，剪掉的四个角都是面积为32平方分米的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 【答案】（1）长方形铁皮的长为分米，宽为分米 （2）长方体铁皮盒子的体积为立方分米 【解析】 【分析】本题考查利用平方根解方程，二次根式混合计算等． （1）根据题意设长方形铁皮的长为分米，则宽为分米，再列式计算后即可求出本题答案； （2）先求出正方形的边长为分米，再利用长方体体积公式计算即可求出本题答案． 【小问1详解】 解：设长方形铁皮的长为分米，则宽为分米． 根据题意可得． 即． ， ， ． 长方形铁皮的长为分米，宽为分米； 【小问2详解】 解：正方形的面积为32平方分米， 正方形的边长为分米． ∴长方体体积， ， ， 答：长方体铁皮盒子的体积为立方分米． 22. 如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． （1）小方形纸片的边长为 ； （2）在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a，小数部分为b，求的值； （3）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的应用、无理数的估算、无理数的混合运算和开平方的应用， （1）先根据小正方形的面积是大正方形面积的一半求得小正方形的面积，进而求得小正方形的边长即可； （2）结合（1）小方形纸片的边长和二次根式的运算得到小正方形纸片的边长的值的整数部分为，小数部分为，代入代数式计算即可； （3）设长方形的长和宽分别是和．根据剪出的大长方形的面积列方程求得长方形的长，再与大正方形的边长进行比较即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，小正方形的面积是大正方形面积的一半， ∴小正方形的面积为， 设小正方形的边长为a， 则， ∴（负值舍去）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）小方形纸片的边长， ∵，且， ∴， ∴小正方形纸片的边长的值的整数部分为，小数部分为， 则； 【小问3详解】 解：不能，理由如下： ∵长方形的长宽之比为， ∴设长方形的长和宽分别是，． ∴， ， ∵， ， ∴沿着大正方形边的方向不能裁出符合要求的长方形． 23. 综合与探究 已知，如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．分别将点和点沿轴向右移动5个单位长度，得到点和点，连接与交于点． （1）请直接写出：_____，______． （2）请判断与的位置关系，并证明你的结论． （3）如图2，若将点沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度从开始移动秒，同时将点沿轴正方向以同样的速度从开始移动，连接与交于点． ①证明：为的中点． ②当是直角三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2），证明见解析 （3）①见解析；②2或 【解析】 【分析】（1）根据平移得出，，勾股定理求出，即可． （2）根据平移可得，证明，得出，再根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，即可解答． （3）①根据平移可得，证明，得出，即为的中点． ②根据题意可得，，勾股定理求出，，得出，，分为当时，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为，点的坐标为．分别将点和点沿轴向右移动5个单位长度，得到点和点， ∴，， ∴， ， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：， 证明：根据平移可得， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【小问3详解】 ①证明：根据平移可得， ∴， ∴， ∴， 即为的中点． ②解：根据题意可得，， ∴， ， ∴，， 当时，，即，解得：或0（舍去）； 当时，，即，解得：； 综上，或2． 【点睛】该题考查了点的平移，平移的性质，勾股定理和勾股定理逆定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$