2024-2025学年度北师大版八年级数学期中模拟试卷02 2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（北师大版）

2024-2025学年度北师大版八年级数学期中模拟试卷02 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 考试范围：三角形的证明、一元一次不等式和一元一次不等式组、图形的平移与旋转； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）（22-23八年级下·四川成都·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位得到点，则点关于轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）（23-24八年级下·陕西榆林·期中）下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）（23-24八年级下·广东深圳·期中）不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若，则为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）已知的三边分别为，且，则的面积为（   ） A．9 B． C． D．无法计算 8．（本题3分）（21-22八年级下·广西钦州·阶段练习）如图，中，，是的平分线．已知，，则的长为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 9．（本题3分）（24-25八年级下·山东聊城·期中）某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织七年级200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅的套数（一桌一椅为一套）为（  ） A．81套 B．80套 C．79套 D．75套 10．（本题3分）（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，，，点D是边上一点，，将绕点D顺时针旋转角（）得到，当点落在的边上时，（      ） A．或 B．或 C．或 D．或 第II卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）（23-24八年级下·广东河源·期中）若点关于原点的对称点在第一象限，则m的取值范围 ． 12．（本题3分）（22-23八年级下·陕西西安·期末）若关于x的不等式组有且仅有个整数解，则实数的取值范围为 13．（本题3分）（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是 ． 14．（本题3分）（23-24八年级下·河南郑州·期中）一种药品的说明书上写着：“每日用量，分次服完”，若每次服用这种药的剂量为，则x的取值范围是 ． 15．（本题3分）（22-23八年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，，线段的垂直平分线分别交、于点D、E、连接、若，则的长为 ． 16．（本题3分）（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ． 17．（本题3分）（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，．将沿射线平移得到，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，在的平移过程中，的周长的最小值为 ． 18．（本题3分）（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把他们的底角顶点连接起来，则形成一组全等三角形，我们把这个规律的图形称为“手拉手图形”．如图，已知等边的边长为，点，分别为，的中点，现将绕点顺时针旋转角度为，直线，相交于点；当旋转到图位置（、、在同一直线上）时，的度数为 ；在整个旋转过程中，当点与重合时，的长为 ．      三、解答题（共66分） 19．（本题6分）（22-23八年级下·四川成都·期中）某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金18000元，若购进4台空调和30台电风扇，需要资金11000元． (1)求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？ (2)该经营业主计划购进这两种电器共50台，而可用于购买这两种电器的资金不超过43000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3200元．试问该经营业主有多少种进货方案？ 20．（本题6分）（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）（1）如图1，是等边内一点，连接，且，，将绕点顺时针旋转后得到，连接，完成下列各题． ①线段的长 ；②求的度数． （2）如图2，是等腰直角内一点，连接，将绕点顺时针旋转后得到，连接．当满足什么条件时，？请给出证明． 21．（本题8分）（23-24八年级下·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，已知三个顶点坐标分别为，，．如图，点B在边长为1的正方形网格上． (1)请画出符合题意的平面直角坐标系，并画出； (2)将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出，并写出点的坐标______；连接，，并判断它们的位置及大小关系：______（位置关系），______（数量关系）； (3)画出点B到直线的最短路径，并求出线段的长． 22．（本题8分）（23-24八年级下·四川雅安·期中）如图，在直角坐标系中，直线与x轴交于A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． (1)直接根据图像写出关于x的不等式的解集； (2)求出m、n的值； (3)求出的面积． 23．（本题8分）（21-22八年级下·辽宁锦州·期中）锦州市工会号召广大市民积极开展了“献爱心捐款”活动，该市拟用这笔捐款购买，两种物品．经过市场调查发现，今年每套型物品的价格6万元，每套型物品的价格万元，该市准备购买型物品50套，型物品若干套（超过200套）． 某供应商给出以下两种优惠方案： 方案一：“买一送一”，即购买一套型物品，赠送一套型物品； 方案二：“打折销售”，即购买型物品200套以上，超出200套的部分按原价打八折，型物品不打折． (1)设购买型物品套， 选择方案一所需费用为万元，则与的关系式为______． 选择方案二所需费用为万元，则与的关系式为______． (2)选择哪种方案更划算？请说明理由． 24．（本题10分）（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如图所示，和中，，，并且，连接，，相交于点．求证： (1)； (2)平分； 25．（本题10分）（23-24八年级下·四川泸州·期中）某单位计划对一块四边形空地进行绿化，如图，在四边形中，，米，米，米，米，若每平方米绿化的费用为90元，请预计绿化的费用． 26．（本题10分）（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)如图1，延长、交于点，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当时，连接、，延长与交于点，试探究与的数量关系．并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度北师大版八年级数学期中模拟试卷02 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 考试范围：三角形的证明、一元一次不等式和一元一次不等式组、图形的平移与旋转； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）（22-23八年级下·四川成都·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．据此计算即可判断． 【详解】解：A、∵，不能判断，本选项不符合题意； B、∵，∴，本选项不符合题意； C、∵，∴，本选项不符合题意； D、∵，∴，本选项符合题意； 故选：D． 2．（本题3分）（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位得到点，则点关于轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了点的平移，关于y轴对称的点的特点，首先根据点向右平移，横坐标增加3，纵坐标不变，得出平移的点的坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变解答即可. 【详解】解：将点向右平移3个单位长度得到点，即， ∴点关于y轴对称的点的坐标是． 故选：D． 3．（本题3分）（23-24八年级下·陕西榆林·期中）下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 4．（本题3分）（23-24八年级下·广东深圳·期中）不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．本题分别求出各个不等式的解集，即可写出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解①式得：， 解②式得：， ∴不等式组的解集为：， 解集表示在数轴上如下： ， 故选：D 5．（本题3分）（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了根据两条直线的交点求不等式的解集， 先将代入关系式求出x，从交点向左一次函数的图象在一次函数的图象上方，即可得出不等式的解集． 【详解】解：当时，， 解得． 当时，两个函数值相等， ∴当时，． 故选：B． 6．（本题3分）（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．（本题3分）（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）已知的三边分别为，且，则的面积为（   ） A．9 B． C． D．无法计算 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，算术平方根，平方，绝对值的非负性， 根据算术平方根，平方，绝对值的非负性求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判定直角三角形，求出面积即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得． ∵， ∴是直角三角形， ∴． 故选：B． 8．（本题3分）（21-22八年级下·广西钦州·阶段练习）如图，中，，是的平分线．已知，，则的长为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．先利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答． 【详解】解：是的平分线， ， 在中，， ， ， 故选：A． 9．（本题3分）（24-25八年级下·山东聊城·期中）某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织七年级200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅的套数（一桌一椅为一套）为（  ） A．81套 B．80套 C．79套 D．75套 【答案】B 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用能力，设可搬桌椅套，即桌子张、椅子把，则搬桌子需人，搬椅子需人，根据总人数列不等式求解可得，设出桌椅的套数，表示出搬桌子、椅子的人数是解题的关键． 【详解】解：设可搬桌椅套，即桌子张、椅子把，则搬桌子需人，搬椅子需人， 根据题意，得：， 解得：， 最多可搬桌椅80套， 故选：B． 10．（本题3分）（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，，，点D是边上一点，，将绕点D顺时针旋转角（）得到，当点落在的边上时，（      ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，分类讨论思想，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键． 分两种情况讨论：点落在上，点落在上，根据旋转的性质可得的值． 【详解】解：当点落在上时，如图1， 由旋转的性质得：， ， ， 当点落在上时，如图2， 延长到点E，使， 由旋转的性质得：， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 即， 综上，或， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）（23-24八年级下·广东河源·期中）若点关于原点的对称点在第一象限，则m的取值范围 ． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、已知点所在的象限求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是关于原点对称点的坐标，熟练掌握关于原点对称点的坐标的性质是解题的关键． 首先根据关于原点对称的点的坐标特点判断出A点在第三象限，再根据第三象限内的点的坐标符号可得，再解不等式即可． 【详解】解：∵点关于原点的对称点在第一象限， ∴点A在第三象限， ∴， 解得． 故答案为：． 12．（本题3分）（22-23八年级下·陕西西安·期末）若关于x的不等式组有且仅有个整数解，则实数的取值范围为 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，由关于的不等式组有且仅有个整数解，得出关于的不等式组，再求出不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 关于的不等式组有且仅有个整数解， 整数解为，，， ， ． 故答案为：． 13．（本题3分）（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是 ． 【答案】或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．设另一个角是，表示出这个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【详解】解：设另一个角是，表示出这个角是， ①是顶角，是底角时，， 解得， 所以，底角为； ②是底角，是顶角时，， 解得， 所以，底角是； ③与都是底角时，， 解得， 所以，底角是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或． 故答案为：或或． 14．（本题3分）（23-24八年级下·河南郑州·期中）一种药品的说明书上写着：“每日用量，分次服完”，若每次服用这种药的剂量为，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查不等式的定义．确定每天服用，2次或3次每次的剂量；每天服用，2次或3次每次的剂量，找到最少的剂量和最多的剂量确定范围即可． 【详解】解：由题意，每日用量，分次服完， 则，， ，， 若每天服用2次，则所需剂量为之间， 若每天服用3次，则所需剂量为之间， 故一次服用这种药的剂量为之间． 则的取值范围是：． 故答案为：． 15．（本题3分）（22-23八年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，，线段的垂直平分线分别交、于点D、E、连接、若，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，根据垂直平分线的性质可得到，进而得到，再根据直角三角形的性质可得，从推出的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴． 故答案为：4． 16．（本题3分）（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ． 【答案】或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三线合一、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】分两种情况讨论：当时，由三线合一可得，由勾股定理可得，由轴对称的性质可得，，进而可得，设，则，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长；当时，作于点，利用邻补角互补可得，由轴对称的性质可得，利用邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，根据即可求出的长；综上，即可得出答案． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时， 如图， ， ，， ， ， ， 由轴对称的性质可得：，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ； 当时， 如图，作于点， ， ， ， 由轴对称的性质可得： ， ， ， ， ， ； 综上，的长是或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了三线合一，勾股定理，轴对称的性质，线段的和与差，解一元一次方程，垂线的性质，利用邻补角互补求角度，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 17．（本题3分）（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，．将沿射线平移得到，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，在的平移过程中，的周长的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】根据旋转的性质求解、已知两点坐标求两点距离、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，过点作于点，证明得出，设，根据平移的性质可得，，勾股定理表示出，即到点和的距离和的最值，进而根据轴对称的性质求得最值，即可求解． 【详解】解：如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示， 过点作于点， ∵在中，，，．将绕着点逆时针旋转得到线段， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ 设，则，， ∴ 即到点和的距离和的最值， 如图所示，，取，则的最小值为的长， 即 ∴的周长的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，轴对称的性质求线段和的最值问题，平移的性质，将问题转化为的最小值为的长是解题的关键． 18．（本题3分）（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把他们的底角顶点连接起来，则形成一组全等三角形，我们把这个规律的图形称为“手拉手图形”．如图，已知等边的边长为，点，分别为，的中点，现将绕点顺时针旋转角度为，直线，相交于点；当旋转到图位置（、、在同一直线上）时，的度数为 ；在整个旋转过程中，当点与重合时，的长为 ．      【答案】 /60度 或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】根据等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质得，，从而得，利用勾股定理及等边三角形的性质分类讨论求解的长即可． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ，， 等边的边长为，点，分别为，的中点， ∴ 是边长为的等边三角形， ， ∴，即， ， ，， ， 如下图，在整个旋转过程中，当点与重合时，且点在的上方时，过点作于点， ∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如下图，在整个旋转过程中，当点与重合时，且点在的下方时，过点作于点， 同理得，， ∴． 故答案为：，或； 【点睛】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理以及直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定及性质以及等边三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（共66分） 19．（本题6分）（22-23八年级下·四川成都·期中）某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金18000元，若购进4台空调和30台电风扇，需要资金11000元． (1)求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？ (2)该经营业主计划购进这两种电器共50台，而可用于购买这两种电器的资金不超过43000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3200元．试问该经营业主有多少种进货方案？ 【答案】(1)挂式空调的进价为元，电风扇的进价为元 (2)11种 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的经济问题 【分析】本题考查了方程组，不等式的应用，不等式组的应用，熟练掌握方程组，不等式组的解法是解题的关键． （1）设挂式空调的进价为元，电风扇的进价为元，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进挂式空调件，则购进电风扇件，根据题意，得，求解符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设挂式空调的进价为元，电风扇的进价为元，根据题意，得， 解得． 答：挂式空调的进价为元，电风扇的进价为元． （2）解：设购进挂式空调件，则购进电风扇件，根据题意，得， 解得 ， 为整数， 取10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20共11种． 答：一共有11种进货方案． 20．（本题6分）（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）（1）如图1，是等边内一点，连接，且，，将绕点顺时针旋转后得到，连接，完成下列各题． ①线段的长 ；②求的度数． （2）如图2，是等腰直角内一点，连接，将绕点顺时针旋转后得到，连接．当满足什么条件时，？请给出证明． 【答案】（1）①4；②；（2）当时，，证明见解析 【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的性质与判定： （1）①根据等边三角形的性质得，再根据旋转的性质得，，加上，则可判断为等边三角形，所以；②由为等边三角形得到，再利用旋转的性质得，然后根据勾股定理的逆定理可证明为直角三角形，，所以； （2）根据旋转的性质得，，， 则，进一步由勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）①∵为等边三角形， ∴， ∵绕点B顺时针旋转后得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：4； ②由旋转的性质可得， 在中，，，， ∵，即， ∴为直角三角形，且， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）当时，，证明如下： ∵绕点顺时针旋转后得到， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴当满足时，． 21．（本题8分）（23-24八年级下·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，已知三个顶点坐标分别为，，．如图，点B在边长为1的正方形网格上． (1)请画出符合题意的平面直角坐标系，并画出； (2)将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出，并写出点的坐标______；连接，，并判断它们的位置及大小关系：______（位置关系），______（数量关系）； (3)画出点B到直线的最短路径，并求出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【知识点】坐标与图形、垂线段最短、用勾股定理解三角形、平移(作图) 【分析】本题是几何变换综合题，考查了作图平移变换，平移的性质，三角形的面积的就是，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键. （1）根据点的坐标建立坐标系，描出对应点顺次连接即可； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解，根据图形即可得出的坐标，由图形可直接得出答案； （3）根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论. 【详解】（1）如图所示，即为所求： （2）如图所示，三角形即为所求，；由图形可知：与的位置与大小关系分别为：平行，相等： 故答案为：，， （3）过点B作AC的垂线BD交AC于D， ∵，， ， ∴， ∴. 22．（本题8分）（23-24八年级下·四川雅安·期中）如图，在直角坐标系中，直线与x轴交于A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． (1)直接根据图像写出关于x的不等式的解集； (2)求出m、n的值； (3)求出的面积． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集、已知两点坐标求两点距离、利用网格求三角形面积 【分析】（1）根据函数图象即可直接得出答案； （2）将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值，于是可得点，将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）先求出直线与轴的交点，再求出直线与轴的交点、与轴的交点，进而可求出、的长，然后根据即可求出的面积． 【详解】（1）解：根据图像可以看出，关于x的不等式的解集为： ； （2）解：将代入直线，得： ， 解得：， ， 将代入直线，得： ， 解得：， ，； （3）解：对于直线，令，则， 解得：， ， 对于直线，令，则， 解得：， ， 对于直线，令，则， ， ， ， ， 的面积为． 【点睛】本题主要考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，从函数的图象获取信息，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解一元一次方程，求一次函数的函数值，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 23．（本题8分）（21-22八年级下·辽宁锦州·期中）锦州市工会号召广大市民积极开展了“献爱心捐款”活动，该市拟用这笔捐款购买，两种物品．经过市场调查发现，今年每套型物品的价格6万元，每套型物品的价格万元，该市准备购买型物品50套，型物品若干套（超过200套）． 某供应商给出以下两种优惠方案： 方案一：“买一送一”，即购买一套型物品，赠送一套型物品； 方案二：“打折销售”，即购买型物品200套以上，超出200套的部分按原价打八折，型物品不打折． (1)设购买型物品套， 选择方案一所需费用为万元，则与的关系式为______． 选择方案二所需费用为万元，则与的关系式为______． (2)选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，选择方案一更划算；当时，选择方案一、方案二费用相同；当时，选择方案二更划算 【知识点】列代数式、方案选择(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（或一元一次方程）是解题的关键． （1）根据题意，分别求出与的关系式为和与的关系式； （2）分，及三种情况，可分别求出x的取值范围（或x的值），此题得解． 【详解】（1）解：设购买B型物品套，则选择方案一所需费用与的关系式为； 选择方案二所需费用与的关系式为． 故答案为：； （2）解：当时， 解得：， 又∵， ∴； 当时， 解得：； 当时， 解得：． 答：当时，选择方案一更划算；当时，选择方案一、方案二费用相同；当时，选择方案二更划算． 24．（本题10分）（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如图所示，和中，，，并且，连接，，相交于点．求证： (1)； (2)平分； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】角平分线的判定定理、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）由得，证明，即可得证； （2）过点作于点，作于点，根据角平分线的判定即可得证； 掌握全等三角形的判定和性质及角平分线的判定是解题的关键 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）过点作于点，作于点， ∵， ∴， ∴平分 25．（本题10分）（23-24八年级下·四川泸州·期中）某单位计划对一块四边形空地进行绿化，如图，在四边形中，，米，米，米，米，若每平方米绿化的费用为90元，请预计绿化的费用． 【答案】元 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是证明．先求出米，再证明，则四边形的空地转化为两个三角形，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，米，米， ∴米 ∵米，米， ∴， ∴， ∴（米） 所以需费用（元）． 26．（本题10分）（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)如图1，延长、交于点，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当时，连接、，延长与交于点，试探究与的数量关系．并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)．理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等边对等角 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等边对等角得出，，根据三角形内角和定理推得，即可求得，根据证明，根据全等三角形的对应边相等即可证明； （2）根据全等三角形的对应角相等得出，根据三角形的外角性质得出，等量代换得出，即可得出； （3）作交的延长线于，作交的延长线于，根据三角形内角和定理推得，根据三角形的外角性质可推得，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，同理得出，，推得，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，作交的延长线于，作交的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴是的中点， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$