北京市清华大学附属中学望京学校2024-2025学年高一下学期3月质量监测数学试题

第 1 页 共 4 页 2024-2025 学年第二学期 3 月质量监测 高一年级数学试卷 2025 年 3 月 考试时间 120 分钟，试卷满分 150 分 一、选择题(共 10小题，每小题 5 分，共 50分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项.) 1．已知向量 (1 2)a  ， ， ( 1)b m ， ，且 ( )a b a  ，则实数m 等于（ ） A． 1 B．2 C． 3 D．4 2．在 ABC 中,已知 6 3, 6, 30b c C    ,则a （ ） A．6 B．12 C．6 或 12 D．无解 3．在边长为 3 的等边三角形 ABC中， 1 2 BM MC ，则BA BM （ ） A． 3 2 B． 3 2 C． 3 4 D． 1 2 4．设向量 (0,1)b  ， 1 1 , 2 2 a         ，则下列结论中正确的是（ ） A． / /a b B．a b C．a 与b 的夹角为 3 4  D．b 在a方向上的投影为 2 2 5．在 ABC 中， 2cos 2 2 B a c c   （a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边），则 ABC 的形状为（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 6．在直角梯形 ABCD中， 0AD AB  ， 30B  ， 2 3AB  ， 2BC  ， 1 3 BE BC ，则（ ） A． 1 1 6 3 AE AB AD  B． 1 2 6 3 AE AB AD  C． 5 1 6 3 AE AB AD  D． 5 1 6 6 AE AB AD  7．已知非零空间向量 ,a b ，且 2 , 5 6 , 7 2AB a b BC a b CD a b       ，则一定共线的三点是（ ） A． , ,A B C B． , ,B C D C． , ,A B D D． , ,A C D 8．已知向量 (1, ), (2,4)a k b  ，则“ 1 2 k   ”是“ 2 2 2 a b a b   ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 第 2 页 共 4 页 9．将函数 cos2y x 图象上的点 , 6 P m       向右平移 ( 0)s s  个单位长度得到点 P′.若 P′位于函数 π cos(2 ) 6 y x  的图 象上，则（ ） A． 1 2 m  ， s的最小值为 π 12 B． 1 2 m  ， s的最小值为 π 6 C． 3 2 m  ， s的最小值为 π 12 D． 3 2 m  ， s的最小值为 π 6 10．已知向量 a ，b 夹角为 3  ，|b |=2，对任意 x∈R，有|b +x a |≥| a - b |，则|t b - a |+|t b - 2 a |（t∈R）的最小值是（ ） A． 13   2 B． 3 2 C． 3 1 2  D． 7   2 二、填空题(共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 11．设向量 (1,0), (1,1)a b  ，若向量 a b  与向量 (6,2)c  共线，则实数  . 12． ABC 的角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，若 2 2 2c a b ab   ，则角C 的大小为 . 13．已知 ABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b，c，若 1 cos 4 B  ， 4b  ，sin 2sinA C ，则 ABC 的面积 为 ． 14．将函数 ( ) sin 2f x x 的图象向右平移 6  个单位后得到函数 ( )g x 的图象，则 ( )g x 的解析式为 ( )g x  ；对于满足 1 2( ) ( ) 2f x g x  的 1 2,x x ， 1 2x x 的最小值等于 . 15．在等腰 ABC 中， 2AB AC  ， 2BA BC  ，则BC  ；若点 P 满足 1 2 2 CP CA CB  ， 则PA PB 的值为 . 16．在直角 ABC 中，斜边 2AB  ， P 为 ABC 所在平面内一点， 2 21 sin cos 2 AP AB AC     （其中 R  ）， ① AB AC 的取值范围是  0,4 ②点 P 经过 ABC 的外心 ③点 P 所在轨迹的长度为 2 ④  PC PA PB  的取值范围是 1 ,0 2       则以上结论正确的是 ．（填写序号） 第 3 页 共 4 页 三、解答题（共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17．（本小题 13 分） 已知向量 (1, 3), ( 2,0)a b   （I）求 a b 的坐标以及 a b 与 a 之间的夹角； （Ⅱ）当 k 为何值时， ka b 与 3a b 垂直； （Ⅲ）当 [ 1,1]t  时，求 a tb 的取值范围． 18．（本小题 13 分） 在 ABC 中，2 sin 2a B b . （I）求 A； (Ⅱ)若 2 6b  ，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得 ABC 存在且唯一确定，求 ABC 的面积.条件 ①： 10 cos 10 C   ；条件②： 2a  ；条件③： 5 sin 5 B  . 注：如果选择了不合适的条件，则第（2）问记 0 分. 19．（本小题 14 分） 函数     π sin 0, 0, 2 f x A x A              的部分图象如图所示. （I）求函数  f x 的解析式； （Ⅱ）将函数  f x 的图象先向右平移 4  个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的 1 2 （纵坐标不变），得到函 数  g x 的图象，求  g x 在 π π , 12 6       上的最大值和最小值； （Ⅲ）若函数  f x 的图象向右平移 ( 0)t t  个单位得到函数  h x ，若  h x 为奇函数，求 t 的最小值. 第 4 页 共 4 页 20. （本小题 15 分） 某中学新校区有一块形状为平面四边形 ABCD的土地准备种一些花圃，其中 A，B 为定点， 3AB  （百米）， 1AD DC  （百米）. （I）若 120C  ， 3BD  （百米），求平面四边形 ABCD的面积； （Ⅱ）若 1BC  （百米）. （i）证明： 3cos 1 cosBAD BCD   ； （ii）若 ABD△ ， BCD△ 面积依次为 1S ， 2S ，求 2 2 1 2S S 的最大值. 21．（本小题 15 分） 设集合  1 2 3 4, , ,A a a a a ，其中 1 2 3 4, , ,a a a a 是正整数，记 1 2 3 4AS a a a a    ．对于 ia ， 1 4( )ja A i j    ，若存 在整数 k，满足  i j Ak a a S  ，则称 i ja a 整除 AS ，设 An 是满足 i ja a 整除 AS 的数对    ,i j i j 的个数． （I）若  1,2,4,8A  ，  1,5,7,11B  ，写出 An ， Bn 的值; （Ⅱ）求 An 的最大值; （Ⅲ）设 A 中最小的元素为 a，求使得 An 取到最大值时的所有集合 A．