第六章 平面向量及其应用 章末检测（重点提升卷）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用章末检测（重点提升卷） 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图， 在△ABC中， 点D是边BC的中点， 则用向量 表示 为（   ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，，，，且A，B，C三点共线，则实数（    ） A． B． C． D．2 3．已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．已知某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭位于观赏亭的东北方向且它们之间的距离为，观赏亭位于观赏亭的北偏西方向且它们之间的距离为，则观赏亭与观赏亭之间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，，设，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 8．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，，，则面积的最大值为（    ）. A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．面积的最小值为 D．的取值范围为 10．已知向量，，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时，在方向上的投影向量为 D．当与夹角为锐角时， 11．已知三个内角的对边分别是，若，则下列选项正确的是（    ） A． B．若是边上的一点，且，则的面积的最大值为 C．若是锐角三角形，则的取值范围是 D．若是的外心，，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在△ABC中，，， ，  F为线段AB上一点，则 的取值范围为 . 13．已知，，且与不共线.若与互相垂直，则 . 14．如图，在中，边是的三等分点，为中点，且，则 . 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 在中，，，分别为内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，求三角形周长的最大值. (3)点在边上，且，，求面积的最大值. 16.（本小题15分） 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线、交于、两点． (1)请用、表示和； (2)设，，求的值； (3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 17.（本小题15分） 在锐角三角形中，角的对边分别为，已知. (1)比较与的大小； (2)求的取值范围； (3)若，且，求的内切圆半径. 18.（本小题17分） “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题： (1)若是边长为的6等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 19.（本小题17分） 如图，四边形是等腰梯形，，是线段的中点，在线段上． (1)若是线段的中点，且，求； (2)若是线段的中点，且，求梯形的面积； (3)若，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量及其应用章末检测（重点提升卷）解析版 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图， 在△ABC中， 点D是边BC的中点， 则用向量 表示 为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在中， 点D是边BC的中点， 所以， 所以，化简得， 则 . 故选：A 2．已知平面向量，，，，且A，B，C三点共线，则实数（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】，， 因为A，B，C三点共线，所以设， 即. 故选：B 3．已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以O是的中点，所以,可得 所以，所以. 故选：D. 4．已知某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭位于观赏亭的东北方向且它们之间的距离为，观赏亭位于观赏亭的北偏西方向且它们之间的距离为，则观赏亭与观赏亭之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由题意得，，. 由余弦定理得，， ∴. 故选：C. 5．已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由夹角公式，的夹角为锐角，即， 即，解得； 当共线时，，解得， 此时满足，此时两向量夹角为， 于是的夹角为锐角时，. 故选：A 6．已知向量，，设，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以， ， 所以，， ， 设与的夹角为， 则，又， 所以，即与的夹角为. 故选：C. 7．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 【答案】C 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 8．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，，，则面积的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，则， 所以，即， 设，又，由题意， 所以，故， 又，故，则， 所以， 当且仅当时取等号，故面积的最大值为. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．面积的最小值为 D．的取值范围为 【答案】BD 【详解】由，且，则，即， 由正弦定理可得，则，由，则， 即，可得，解得，故A错误； 由，根据余弦定理，则，解得，故B正确； 由，则，， 所以的面积，由， 则 ， ， 由，则，即， 易知当时，取得最大值，为，故C错误； ， ， ， 由，则，即， 可得，故D正确. 故选：BD. 10．已知向量，，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时，在方向上的投影向量为 D．当与夹角为锐角时， 【答案】AC 【详解】对于A，由，则，解得，故A正确； 对于B，，， ，解得或，故B错误； 对于C，当时，， 所以在方向上的投影向量为，故C正确； 对于D，当与夹角为锐角时，则，且与不同向， ，解得且，故D错误. 故选：AC. 11．已知三个内角的对边分别是，若，则下列选项正确的是（    ） A． B．若是边上的一点，且，则的面积的最大值为 C．若是锐角三角形，则的取值范围是 D．若是的外心，，则 【答案】BCD 【详解】对于A，因为， 由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得，即， 且，所以，故A错误， 对于B，因为， 则， 可得， 即，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即的面积的最大值为，故B正确； 对于C，因为， 又因为，解得， 可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 可知点在优弧上（端点除外）， 由题意得，则， 又因为， 且，所以可得， 即，又因为，所以， 解得，当且仅当时，等号成立， 所以可得，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在△ABC中，，， ，  F为线段AB上一点，则 的取值范围为 . 【答案】 【详解】 因为， 是以为坐标原点，建立直角坐标系， ，因为是线段上的点， 所以，所以， 所以，，所以， ， 当时，有最大值，当时，有最小值. 所以的取值范围是. 故答案为： 13．已知，，且与不共线.若与互相垂直，则 . 【答案】 【详解】由题意， 即， 可得：， 解得：， 故答案为： 14．如图，在中，边是的三等分点，为中点，且，则 . 【答案】1 【详解】因为为中点，，是的三等分点，则， 所以，则，即， 所以， 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 在中，，，分别为内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，求三角形周长的最大值. (3)点在边上，且，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， ，即， ，， . （2）因为，所以， 则，当且仅当时等号成立， 可得， 所以三角形的周长最大值为. （3）根据题意可得， 平方可得. 整理得，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 即面积的最大值为. 16.（本小题15分） 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线、交于、两点． (1)请用、表示和； (2)设，，求的值； (3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）因为是中点，， 因为，则. （2）因为、、三点共线，故存在实数，使得， 即，整理得， 由（1）知，， 根据平面向量基本定理，则. （3）因为是边长为的等边三角形，故，， 在中，由余弦定理，， 在中，同法可得， 故， 由（2）知，得， 故， 由基本不等式，，， 当且仅当，即，时，取最小值， 故的取值范围是． 17.（本小题15分） 在锐角三角形中，角的对边分别为，已知. (1)比较与的大小； (2)求的取值范围； (3)若，且，求的内切圆半径. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，可得：, , 假设，在锐角三角形中，结合余弦函数在上单调递减， 可知，则， 此时可得，这与假设相矛盾，即假设不成立； 又假设，在锐角三角形中，结合余弦函数在上单调递减， 可知，则， 此时可得，这与假设相矛盾，即假设也不成立； 综上可得： （2） 由（1）得，，即在等腰三角形中，取底边的中点为， 则，则， 因为在锐角三角形中，，所以，则； （3）在等腰三角形中，因为， 所以， 再由 ， 则 可解得：，， 因为，，所以，则， 又由，，可得， 所以高，根据等面积法可知： . 18.（本小题17分） “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题： (1)若是边长为的6等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）由为等边三角形，三个内角均小于，得费马点在三角形内， 满足，且，如图：    过作于，则，，， 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为． （2）（i）由正弦定理得，而，， 则，即，得，则的三个角都小于， 由费马点定义知，， 设，， 由得：， 整理得，则 ． （ii）由（i）知，点在内部，且，    设，， 则， 由余弦定理得，， ， ， 而，即， 整理得，即，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 19.（本小题17分） 如图，四边形是等腰梯形，，是线段的中点，在线段上． (1)若是线段的中点，且，求； (2)若是线段的中点，且，求梯形的面积； (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）若是线段的中点，由题意可知， ， ， 所以. 如下图所示：过作于，过作于， 因为是等腰梯形，，可知， 在直角中，因为，所以，， 所以， 所以， 所以. （2）若是线段的中点，由（1）可知，， 在直角中，因为，即， 所以， 因为，所以， 即， 解得，. 在直角中，由勾股定理可得， 所以梯形的面积. （3）由（1）可知，在直角中， 因为，，所以， 所以， 设， 所以， 又由（1）知， 所以， 所以， 因为，所以， 整理得，解得或（舍）， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$