7.4.1 二项分布（教学课件）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

第七章 随机变量及其分布列 7.4.1 二项分布 ·选择性必修第三册· 学习目标 1.理解n重伯努利试验的概念. 2.掌握二项分布.(重点) 3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题.(难点) 情景导入 7.4.1 二项分布 01 创设背景 引入新知 孔子是我国古代著名的教育家、思想家,留下了许多至理名言,其中“三人行,必有我师焉”是我们大家都熟知的一句话.孔子的学问很高,但他也很谦虚,自称与任意两人(加上自己共三人)同行,则他们中间一定有人可以做自己的老师.这是孔子自谦的一句话,那么实际情况怎么样呢? 我们不妨从概率的角度来看一下. 二项分布 02 7.4.1 二项分布 探究新知 前面我们学习了离散型随机变量的有关知识，本节将利用这些知识研究两类重要的概率模型------二项分布与超几何分布. 探究新知 问题 总结以下几个随机试验有什么共同特征？ 掷一枚硬币结果为正面向上或反面向上； 检验一件产品结果为合格或不合格； 飞碟运动员射击时中靶或脱靶； 医学检验结果为阳性或阴性； …… 共同特征：都只包含两个可能结果 定义 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 探究新知 问题 总结以下几个随机试验有什么共同特征？ 掷一颗质地均匀的硬币10次； 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次； 一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件； …… 共同特征：将一个伯努利试验重复做多遍 定义 我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 探究新知 思考： n重伯努利试验定义中的“重复”是什么意思？共同特征是什么？ 在一次伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生， 辨析 在n重伯努利试验中，我们关注事件A发生的次数X． “重复”意味着每一次伯努利试验成功的概率相同 n重伯努利试验具有如下共同特征： (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 探究新知 思考 下面3个随机试验是否为重伯努利试验？如果是，那么其中的伯努利试验是什么？对于每个试验，定义“成功”的事件为，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少？ (1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次. (2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次. (3)一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件. 随机试验 (1) (2) (3) 是否为n重伯努利试验 是 是 是 P(A) 0.5 0.8 0.05 重复试验的次数 10 3 20 探究新知 探究 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8．连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？ 探究新知 由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积.由概率的加法公式和乘法公式得： 思考： 每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶得所有可能结果可以如何表示？ 011，110，101 探究新知 追问1 以上三个结果发生的概率分别是多少？ 结合排列组合知识，3次射击恰好2次中靶的概率可以如何表示？ 追问2 类似地，3次射击恰好0次、1次、3次中靶的概率分别是多少? 追问3 中靶次数X 的分布列可以如何表示？ 追问4 均为，每个结果的概率与哪两次中靶无关. 、、 . 探究新知 思考 如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X 等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列． 4次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为0011，0110，0101，1001，1010，1100． 中靶次数X的取值为0,1,2,3,4 中靶次数的分布列为 ，4. 探究新知 定义 思考： 对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗？ 探究新知 随机变量X服从二项分布的三个前提条件 (1) 每次试验都是在同一条件下进行的； (2) 每一次试验都彼此相互独立； (3) 每次试验出现的结果只有两个，即某事件要么发生，要么不发生. 只有这三个条件均满足时才能说明随机变量X服从二项分布，其事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率可用下面公式计算. 应用新知 例1： 分析 抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验．因此，正面朝上的次数服从二项分布． 应用新知 解析 应用新知 例2： 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用表示小球最后落入格子的号码，求的分布列. 分析 小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果．设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果，且概率都是0.5．在下落的过程中，小球共碰撞小木钉10次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这是一个10重伯努利试验．小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，因此X服从二项分布． 应用新知 解析 设“向右下落”，则“向左下落”， 且. 因为小球最后落入格子的号码 等于事件发生的次数， 而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次， 所以. 于是，的分布列为： . 的概率分布图如图所示. 应用新知 例3： 甲、乙两名选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是5局3胜制对甲更有利？ 解法1 采用3局2胜制,甲最终获胜有两种可能的比分2：0或2：1,前者是前两局甲连胜,后者是前两局甲,乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的,甲最终获胜的概率为. 类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3：0(前三局甲连胜)或3：1(前三局甲获胜2局且第4局甲胜)或3：2(前四局甲、乙各胜两局且第5局甲胜).因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为: . 应用新知 例3： 甲、乙两名选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是5局3胜制对甲更有利？ 解法2 采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用表示3局比赛中甲胜的局数，则.甲最终获胜的概率为 . 采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用表示5局比赛中甲胜的局数，则.甲最终获胜的概率为 . 因为，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利. 应用新知 思考： 为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率？ 从比分上看: 3局2胜的比分应为2:0或2:1， 对“2:0”：若设赛满3局,则第3局甲无论胜、负总体都是甲胜，故这个“2:0”可分为“3:0”与“2:1”两种情况； 对“2:1”本身就赛满3局,故. 从甲获胜对应的概率值上看: 2:0对应概率 ，2:1对应概率. 所以. 同理可得，对5局3胜可定赛满5局与此类似. 应用新知 归纳 确定一个二项分布模型的步骤 (1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； (2)确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性； (3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n, p)． 应用新知 跟踪练习 解析 (1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为 应用新知 跟踪练习 解析 (2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标，符合n重伯努利试验概率模型．故所求概率为 应用新知 跟踪练习 解析 二项分布的均值和方差 03 7.4.1 二项分布 探究新知 探究 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，那么X的均值和方差各是什么？ 我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有100×0.5＝50次正面朝上. 根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X, 我们猜想E(X)＝np. 我们不妨从简单开始, 先考察n较小的情况. (1)当n＝1时,X分布列为 P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，则有 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). 由此猜想：若X~B(n，p)，则E(X)=np，D(X)=np(1−p). (2)当n＝2时,X分布列为 P(X＝0)＝(1－p)2, P(X＝1)＝2p(1－p), P(X＝2)＝p2. E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2p2 ＝2p. D(X)＝ 02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p). 探究新知 下面我们对均值进行证明． 结论 能力提升 04 7.4.1 二项分布 能力提升 题型一 求二项分布的分布列 例题1 能力提升 题型一 求二项分布的分布列 解析 能力提升 题型一 求二项分布的分布列 解析 能力提升 题型二 服从二项分布随机变量概率最大值问题 例题2 解析 能力提升 题型二 服从二项分布随机变量概率最大值问题 例题2 解析 7 能力提升 题型二 服从二项分布随机变量概率最大值问题 例题2 7 总结 建立不等式组： 解不等式组，即可得到的取值范围， 然后根据,得出的值. 能力提升 题型三 二项分布的均值与方差问题 例题3 解析 D 能力提升 题型三 二项分布的均值与方差问题 例题3 D 解析 总结 根据二项分布的均值和方差公式，建立方程（组），解方程（组）即可得解 能力提升 题型四 建立二项分布模型解决实际问题 例题4 能力提升 题型四 建立二项分布模型解决实际问题 解析 能力提升 题型四 建立二项分布模型解决实际问题 解析 能力提升 总结 正确认识二项分布及其在解题中的应用 (1)在解决有关均值和方差问题时，要认真审题，如果题目中的离散型随机变量符合二项分布，就应直接利用二项分布求均值和方差，以简化问题的解答过程． (2)对于二项分布的均值与方差公式E(X)＝np和D(X)＝np(1－p)要熟练掌握． 课堂小结+限时小练 05 7.4.1 二项分布 课堂小结 二项分布 随堂限时小练 解 A 随堂限时小练 解 随堂限时小练 解 3.6 18 随堂限时小练 解 随堂限时小练 解 随堂限时小练 随堂限时小练 解 作业布置与课后练习答案 06 7.4.1 二项分布 作业布置 巩固作业 作业1：完成教材：第76~77页练习 第1,2,3题. 作业2：配套辅导资料对应的《二项分布》.  课后作业答案(练习第76页) 1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数． (1)求X的分布列； 解： 所以X的分布列为： 课后作业答案(练习第76页) 1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数． (1)求X的分布列； 解： 2 1 课后作业答案(练习第76页) 2．鸡接种一种疫苗后,有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗,求： (1)没有鸡感染病毒的概率； (2)恰好有1只鸡感染病毒的概率． 解： 课后作业答案(练习第76页) 3．判断下列表述正确与否，并说明理由： (1)12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数 X～B(10, 0.25)； (2)100件产品中包含10件次品,不放回地随机抽取6件,其中的次品数Y~B(6, 0.1)． 解： (1) 该表述正确，理由如下：12道四选一的单选题，随机猜结果，则每一道题猜对答案的概率均为0.25，则相当于进行12次独立重复试验，故猜对答案的题目数X～B(10, 0.25) ． (2)该表述错误，理由如下：因为是不放回的随机抽取，所以上一次抽取的结果对本次抽取有影响，故不能看成独立重复试验，故次品数Y不符合二项分布． 课后作业答案(练习第76页) 4．举出两个服从二项分布的随机变量的例子． 解： 例1：某同学投篮命中率为0.7，他在10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，服从二项分布， X～B(10, 0.7) ； 例2：抛硬币，正面向上的概率为0.5，则抛20次，证明向上的次数X是一个随机变量，服从二项分布， Y～B(20, 0.5) ． THANKS 感谢您的聆听