2025年人教版数学中考一轮复习——二次函数

2025 年人教版数学中考一轮复习——二次函数 一、单选题 1．二次函数的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象不经过第三象限，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（   ） A．D点 B．C点 C．B点 D．A点 4．已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．如图，抛物线与轴交于两点，的直角顶点在抛物线对称轴上，为线段上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．一个球从地面竖直向上弹起，经过秒时球的高度为米，和满足关系式，则球离地面不低于米的持续时间是（   ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 8．如图，抛物线与轴交于点和点B，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当抛物线沿着轴向下平移1个单位长度就可能经过点．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．抛物线的顶点坐标是 ． 10．若函数表示是的二次函数，则的值为 ． 11．如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则关于的方程的解为 ． 12．二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值为 ． 13．坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，，，，则的长度是 ． 三、解答题 14．已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)当时，二次函数的最小值为．求此时二次函数的解析式； (3)已知点，，线段与二次函数的图象有公共点，直接写出a的取值范围． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴的正半轴，抛物线正方形的顶点，，点为抛物线的顶点，连过接，，． (1)求正方形的边长； (2)求四边形的面积． 16．剪纸是一种非常普及的中国民间艺术，春节期间，人们都喜欢在窗户上贴上窗花作为装饰，不仅烘托了喜庆的节日气氛，还为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实用性于一体．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸进行销售，已知每套甲种剪纸的进价是每套乙种剪纸进价的倍，用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套． (1)求这两种剪纸每套进价分别为多少元？ (2)根据商家的销售经验，甲种剪纸的销售量（套）与销售单价（元）之间的关系为，乙种剪纸的销售量（套）与销售单价（元）之间的关系为．若每套甲种剪纸的售价同样是每套乙种剪纸售价的倍，则甲、乙两款剪纸的销售单价定为多少元时，商家可获得最大利润？最大利润是多少元？ 17．郑州彩虹桥以其独特的造型成为城市地标，三个连续拱形设计雄伟壮观．已知彩虹桥中间拱形的最高点距离桥面，建立如图所示的平面直角坐标系，中间拱形的一端点为坐标原点，另一端点为，拱的形状可以近似看作二次函数图像的一部分． (1)求彩虹桥中间拱形的二次函数表达式． (2)一架无人机从原点出发，沿着拱形的轨迹匀速飞行，已知无人机飞行时在水平方向的速度为，同时有一遥控车从原点出发，沿方向以的速度匀速行驶，设运动时间为，问在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得无人机到点O的距离是遥控车到点距离的倍？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交另一点B． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，在抛物线上有点P，过点A过的平行线交y轴与点M，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点Q，使得中有一个角是的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B B C A D B 9． 10． 11．， 12．2 13．9 14．(1)顶点坐标为 (2) (3) 【详解】（1）解： ∴对称轴为直线， 当时， ∴顶点坐标为； （2）解：∵，，在对称轴直线的左侧，随的增大而减小， ∴时，最小为 ∴ 解得： 又∵ ∴ ∴； （3）解：∵点，，线段与二次函数的图像有公共点， 当抛物线经过时，， 解得：， 当抛物线经过时，， 解得：， ∴． 15．(1) (2) 【详解】（1）解：∵ ∴抛物线对称轴为直线， 依题意，正方形的边长， （2）由（1）可得 当时， ∴ ∴抛物线解析式为： ∵， ∴抛物线顶点D坐标为， 则． 16．(1)乙种剪纸进价为元，甲种剪纸的进价为元 (2)甲种剪纸的定价为元，乙种剪纸的定价元，商家可获利最大利润元 【详解】（1）解：已知每套甲种剪纸的进价是每套乙种剪纸进价的倍，用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套， ∴设乙种剪纸进价为元，则甲种剪纸的进价为元， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴（元）， ∴乙种剪纸进价为元，甲种剪纸的进价为元； （2）解：每套甲种剪纸的售价同样是每套乙种剪纸售价的倍， ∴， ∴甲种剪纸每套的利润为元，乙种剪纸每套的利润为元， 设销售利润为， ∴， ∵甲种剪纸的销售量（套）与销售单价（元）之间的关系为，乙种剪纸的销售量（套）与销售单价（元）之间的关系为，且， ∴ ， ∵，， ∴， ∴甲种剪纸的定价为元，乙种剪纸的定价元，商家可获利最大利润元． 17．(1) (2)存在， 【详解】（1）解：由题意可知，二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数表达式为， 把点代入，得， 解得：． 彩虹桥中间拱形的二次函数表达式为； （2）存在．              如图，无人机所处位置记为点，遥控车所处位置记为点，连接、，过点作轴于点， 无人机水平方向的速度为，遥控车的速度为， ， 又， 四边形为矩形． ， 由题意得：， ， ， ， 设点的坐标为． ， 解得：（舍去），， 当时，无人机到点的距离是遥控车到点距离的倍． 18．(1) (2)或 (3)存在，或 【详解】（1）解：∵物线的对称轴为直线，且经过点和，则B点坐标为， 则抛物线 将代入上式中， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）设点M的坐标为，直线的解析式为 ∵代入上式得： 再将点代入上式得： ∴直线的解析式为 ∵ ∴直线的解析式为 ∵ ∴直线的解析式为 令 解得：， ∴ ∵是以为底的等腰三角形， ∴ 则 解得 ∴P的坐标为或； （3）设点， ∵ ∴ ∴ ∴使得中有一个角是的2倍 则为直角三角形 当时，如图，过点Q作轴于点D， ∵ ∴ ∴ ∵，，，， ∴， ∴，即， ∴，则， ∴； 当时，如图，过点Q作轴于点F， 同理： ∵，， ∴， ∴，则， ∴； 当时，该情况不存在 ∴Q点的坐标为：或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$