专题01 平面向量（4大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（吉林专用）

专题02 平面向量 题型概览 题型01平面向量的概念 题型02平面向量的线性运算 题型03平面向量的数量积 题型04平面向量的坐标表示 ( 题型01 ) 平面向量的概念 1.（23-24高一下·吉林长春·期中）下列命题正确的是（    ） A．若、都是单位向量，则 B．若，则四点A、B、C、D构成平行四边形 C．与是两平行向量 D．若，则是的相反向量 2.（23-24高一下·吉林·期中）以下命题中正确的个数是（   ） ①两个相等向量的模相等； ②若和都是单位向量，则； ③相等的两个向量一定是共线向量； ④零向量是唯一没有方向的向量； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.（23-24高一下·吉林白山市·期中）（多选）下列命题是真命题的是（    ） A．在正方形ABCD中， B．的模长为0 C．若，则向量是单位向量 D．若向量与向量是共线向量，则向量与向量的方向相同 4.（23-24高一下·吉林通化·期中）下列说法正确的是（    ） A．若两个非零向量共线，则必在同一直线上 B．若与共线，与共线，则与也共线 C．若则 D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或 ( 题型0 2 ) 平面向量的线性运算 1.（23-24高一下·吉林·期中）设D为ABC所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一下·吉林四平·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ）    A．9 B．4 C．3 D． 3.（23-24高一·吉林长春·期中）已知是的中线，，以为基底表示，则（    ）    A． B． C． D． 4.（23-24高一下·吉林延边·期中）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 ( 题型03 ) 平面向量的数量积 1.（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，的夹角为，，且，则（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高一下·吉林长春·期中）已知非零平面向量，的夹角为，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4.（23-24高一下·吉林·期中）（多选）已知向量，，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 5．（23-24高一下·吉林白山市·期中）（多选）下列命题正确的是（    ） A． B．已知，为非零实数，若，则与共线 C．若为非零向量，若“”则“” D．若单位向量满足，则与的夹角为0 6.（23-24高一下·吉林白城市·期中）（多选）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为； D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. 7．（24-25高一上·河北保定·期中）（多选）已知点是内的一点，则以下说法正确的有（    ） A．若，，分别表示，的面积，则 B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若，则点是的垂心 D．若，，分别为，，的中点，且，，则的最大值为 8.（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）设点P是的重心，过点P的直线分别与线段AB，AC交于E，F两点，已知，，则 ；若，，则 ． 9.（23-24高一下·辽宁本溪·期中）在平行四边形中，. (1)若与交于点，求的值； (2)求的取值范围. ( 题型0 4 )平面向量的坐标表示 1.（23-24高一下·吉林长春·期中）已知向量．若与平行，则实数λ的值为（    ） A． B． C．1 D． 2．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知向量，，且与平行，则（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）（多选）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C．向量，的夹角是 D． 4.（23-24高一下·吉林·期中）已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 5．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ． 6.（23-24高一下·吉林·期中）如图，在梯形中，，，，，，分别为边AB，BC上的动点，且，则的最小值为 . 7.（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，. (1)若，求m的值； (2)当时，若，求的最小值. 8．（23-24高一下·福建福州·期中）如图，在菱形中，，是的中点，且． (1)求； (2)以为圆心，2为半径作圆弧，点是弧上的一点，求的最小值． 9.（23-24高一下·吉林长春·期中）已知平面向量． (1)若，且，求的坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 10.（23-24高一下·吉林长春·期中）已知向量， (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 1．（多选）下列说法中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．在中，若点满足，则为的重心 D．两个非零向量，，若，则与共线且反向 2．（多选）设，是非零向量，且，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3.已知是非零向量，，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)求. 4.已知向量满足 (1)若，求向量的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)在（1）的条件下，若与垂直，求的值． 5.已知，. (1)若，同向共线，求的坐标. (2)若，且，求与的夹角. 6．已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面向量 题型概览 题型01平面向量的概念 题型02平面向量的线性运算 题型03平面向量的数量积 题型04平面向量的坐标表示 ( 题型01 ) 平面向量的概念 1.（23-24高一下·吉林长春·期中）下列命题正确的是（    ） A．若、都是单位向量，则 B．若，则四点A、B、C、D构成平行四边形 C．与是两平行向量 D．若，则是的相反向量 【答案】C 【详解】对于A，因为单位向量的方向不同时，两向量不相等，所以A错误， 对于B，当，且A，B，C，D四点共线时，四点A、B、C、D不能构成平行四边形，所以B错误， 对于C，因为，所以与是两平行向量，所以C正确， 对于D，相反向量的长度相等，显然时，不是的相反向量，所以D错误. 故选：C. 2.（23-24高一下·吉林·期中）以下命题中正确的个数是（   ） ①两个相等向量的模相等； ②若和都是单位向量，则； ③相等的两个向量一定是共线向量； ④零向量是唯一没有方向的向量； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】对于①，两个相等向量的模相等，且它们的方向也相同，故①正确； 对于②，若和都是单位向量，当它们的方向不同时，则不成立，故②错误； 对于③，相等的两个向量方向相同，所以它们一定是共线向量，故③正确； 对于④，任何向量都有大小以及方向，零向量也是向量，只不过零向量是方向任意的向量，故④错误. 故正确的有①③，共两个. 故选：B. 3.（23-24高一下·吉林白山市·期中）（多选）下列命题是真命题的是（    ） A．在正方形ABCD中， B．的模长为0 C．若，则向量是单位向量 D．若向量与向量是共线向量，则向量与向量的方向相同 【答案】BC 【详解】对于A，在正方形ABCD中，与的方向不同，A错误. 对于B，的模长为0，B正确. 对于C，若，则向量是单位向量，C正确. 对于D，若向量与向量是共线向量，则向量与向量的可能相反，D错误. 故选：BC 4.（23-24高一下·吉林通化·期中）下列说法正确的是（    ） A．若两个非零向量共线，则必在同一直线上 B．若与共线，与共线，则与也共线 C．若则 D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或 【答案】D 【详解】方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，因此D正确； 若非零向量是共线向量，则未必在同一直线上，A错； 若，则与共线，与共线，但是与未必共线，B错； 由可以得到的大小相等，但方向不一定相同，C错. 故选：D. ( 题型0 2 ) 平面向量的线性运算 1.（23-24高一下·吉林·期中）设D为ABC所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】, 故选：C    2.（23-24高一下·吉林四平·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ）    A．9 B．4 C．3 D． 【答案】C 【详解】由点是的重心，，， 故， 由、、三点共线，故， 则， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：C. 3.（23-24高一·吉林长春·期中）已知是的中线，，以为基底表示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是的中线，所以， ． 故选：B. 4.（23-24高一下·吉林延边·期中）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【详解】∵是的重心，， 又，结合题意知， 因为三点共线, 当且仅当即时取等号，的最小值为，故A正确. 故选：A ( 题型03 ) 平面向量的数量积 1.（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，且， 则， 解得， 故在上的投影向量是＝. 故选：B. 2．（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，的夹角为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以. 故选：D 3.（23-24高一下·吉林长春·期中）已知非零平面向量，的夹角为，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由向量，的夹角为及，得，即， 则，令， 于是 ，当且仅当，即时取等号， 由，解得， 所以当且时，取得最大值. 故选：B 4.（23-24高一下·吉林·期中）（多选）已知向量，，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 【答案】BC 【详解】选项A：由，， 可得，则， 则.判断错误； 选项B：， 又，则.判断正确； 选项C：， 由，可得.判断正确； 选项D：在上的投影向量为 .判断错误. 故选：BC 5．（23-24高一下·吉林白山市·期中）（多选）下列命题正确的是（    ） A． B．已知，为非零实数，若，则与共线 C．若为非零向量，若“”则“” D．若单位向量满足，则与的夹角为0 【答案】BD 【详解】对于选项A，不妨设，，为非零向量，且，则，，即选项A错误； 对于选项B，已知，为非零实数，若，，则与共线，即选项B正确； 对于选项C，已知为非零向量，又,则，即或，即选项C错误； 对于选项D，若单位向量满足，即，即，即，则，则与的夹角为0，即选项D正确． 故选：BD． 6.（23-24高一下·吉林白城市·期中）（多选）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为； D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. 【答案】BCD 【详解】由题意可知，正八边形每条边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2， 对于A，，故A错误； 对于B，，则以为邻边的正方形对角线长是的倍， 可得，故B正确； 对于C，在上的投影向量为，故C正确； 对于D，设的夹角为，则， 其中为定值，只需最大即可，， 延长交延长线于，当在线段上运动时，最大， 易知为等腰直角三角形，且， 则在中，， 在等腰三角形中，， 则， 综上，BCD正确. 故选：BCD. 7．（24-25高一上·河北保定·期中）（多选）已知点是内的一点，则以下说法正确的有（    ） A．若，，分别表示，的面积，则 B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若，则点是的垂心 D．若，，分别为，，的中点，且，，则的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A：如图，分别为的中点， ， 则，故， 所以， 故，A正确； 对于B：过点作⊥于点，取的中点，连接， 则，， 则， 故点在中线上，故向量一定经过的重心，B正确； 对于C： 分别表示方向上的单位向量， 故， ，故⊥， 由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上， 则点是的内心，C错误. D选项，设中点为， 因为，所以点的轨迹为以为直径的圆， 结合上图， ， 当为直径时最大，最大为，故D正确. 故选：ABD 8.（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）设点P是的重心，过点P的直线分别与线段AB，AC交于E，F两点，已知，，则 ；若，，则 ． 【答案】 【详解】 延长交于点D，则D是线段的中点，故． 因为三点共线，所以． 因为P是的重心，所以， 所以解得． 因为， 所以． 故答案为：； 9.（23-24高一下·辽宁本溪·期中）在平行四边形中，. (1)若与交于点，求的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则 设. 根据平面向量基本定理得解得， 所以，则，所以. （2）因为， ， , 所以. . 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为， 当时，取得最大值，且最大值为. 故的取值范围为. ( 题型0 4 )平面向量的坐标表示 1.（23-24高一下·吉林长春·期中）已知向量．若与平行，则实数λ的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】由，得，而，与平行， 因此，解得， 所以实数λ的值为. 故选：D 2．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知向量，，且与平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由向量，，得，， 由与平行，得，所以. 故选：A 3.（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）（多选）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C．向量，的夹角是 D． 【答案】BCD 【详解】对于A,设，则，解得， 由于，故或，故A错误， 对于B，，B正确， 对于C，，，故C正确， 对于D，，D正确， 故选：BCD 4.（23-24高一下·吉林·期中）已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】向量，，且与的夹角为钝角， 所以，且与不共线； 所以，解得且， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 5．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ． 【答案】 【详解】由向量，得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 6.（23-24高一下·吉林·期中）如图，在梯形中，，，，，，分别为边AB，BC上的动点，且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则.设，，其中，，且 ，，得. 因为，所以， 又因为，所以，则， 当且仅当时，取得最小值，且最小值为. 故答案为：. 7.（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，. (1)若，求m的值； (2)当时，若，求的最小值. 【答案】(1)-7 (2)3 【详解】（1）因为，， 所以， 因为， 所以，解得. （2）当时，，， 所以＝＝ ＝， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为3. 8．（23-24高一下·福建福州·期中）如图，在菱形中，，是的中点，且． (1)求； (2)以为圆心，2为半径作圆弧，点是弧上的一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以， 所以， 所以，又，所以． 为等边三角形，又是中点， ，是直角三角形，，， ，； （2）以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 则，，设， 所以，， 所以， 其中，，，故， 故当时，取最小值， 所以，此时． 9.（22-23高一下·吉林长春·期中）已知平面向量． (1)若，且，求的坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【详解】（1）由，得，由，设， 由，得，解得， 所以的坐标是或. （2）依题意，，由与的夹角为锐角，得，且与不共线， 因此，解得且， 所以实数的取值范围是. 10.（23-24高一下·吉林长春·期中）已知向量， (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以， 因为， 所以，解得； （2）因为与的夹角是钝角，，， 所以，解得， 又当，即时，，此时与的夹角为，故， 综上可得. 1．（多选）下列说法中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．在中，若点满足，则为的重心 D．两个非零向量，，若，则与共线且反向 【答案】BCD 【详解】对于A，若为零向量，则，成立，但可以不共线，故A错误； 对于B，，则，即，所以，故B正确； 对于C，若，如图，取中点为， ，，， 即，，，所以则为的重心，故C正确； 对于D，两个非零向量，，若，， 设，夹角为，则，即，可得，即与共线且反向，故D正确， 故选：BCD. 2．（多选）设，是非零向量，且，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于，若，则，故不正确； 对于，设，的夹角为，所以， 若，则，所以，即，同向， 所以，故正确； 对于，若，则， 所以， 因为，，所以，故正确； 对于，设，的夹角为， 若，则， 所以， 所以，所以，故正确. 故选：. 3.已知是非零向量，，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，又，得到， 又，所以在方向上的投影向量为. （2）由（1）， 所以， 得到. 4.已知向量满足 (1)若，求向量的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)在（1）的条件下，若与垂直，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1），， ； （2）由，知与夹角的余弦值为； （3）， 由与垂直， 则， 解得. 5.已知，. (1)若，同向共线，求的坐标. (2)若，且，求与的夹角. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）∵，同向共线，设 ∴,      ∵，∴， 解得或 由于，同向，所以，故 方法二： ∵， 共线，所以存在唯一，使得, 即,又， ∴,即或 由于，同向，故 （2）∵， ∴ ∵， 即 的夹角为 ，则 ,即的夹角为 6．已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$