9.2.4 总体离散程度的估计(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第九章　统计 9.2　用样本估计总体 9.2.4　总体离散程度的估计 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 导学 样本数据的方差 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 离散程度 波动幅度 大 小 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第九章　统计 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 学业标准 素养目标 1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)．(重点) 2．理解离散程度参数的统计含义．(难点) 1.通过对标准差、方差、极差概念的学习，培养学生数学抽象素养． 2．通过利用标准差、方差、极差估计总体的离散程度，培养学生数据分析素养. 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7. 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. 经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环， 　若从二人中选一人去和兄弟部队参加比武大赛，只用平均数能否作出选择？ [提示]　不能．平均数只能说明二人的平均水平相同，还要用方差来判断谁的射击水平更稳定． eq \f(1,N) eq \o(∑,\s\up10(N),\s\do8(i＝1)) (Yi－eq \o(Y,\s\up10(－)))2 eq \r(S2) ◎结论形成 1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差 数据x1，x2，…，xn的方差为__________________＝_______________，标准 差为_________________. 2．总体方差和标准差 (1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为eq \o(Y,\s\up10(－))，则称S2＝_________________为总体方差，S＝___为总体标准差． eq \f(1,n) eq \o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up7(－)))2 eq \f(1,n) eq \o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1))xeq \o\al(2,i)－eq \o(x,\s\up7(－))2 eq \r(\f(1,n)\o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1)) xi－\o(x,\s\up7(－))2) (2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝_______________. 3．样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为eq \o(y,\s\up7(－))，则称s2＝________________为样本方差，s＝___为样本标准差． 4．标准差的意义 标准差刻画了数据的__________或__________，标准差越大，数据的离散程度越___；标准差越小，数据的离散程度越_____. eq \f(1,N) eq \o(∑,\s\up10(k),\s\do8(i＝1))fi(Yi－eq \o(Y,\s\up10(－)))2 eq \f(1,n) eq \o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1)) (yi－eq \o(y,\s\up7(－)))2 eq \r(s2) 5．分层随机抽样的方差 设样本容量为n，平均数为eq \o(x,\s\up7(－))，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为eq \o(x,\s\up7(－))1，eq \o(x,\s\up7(－))2，方差分别为seq \o\al(2,1)，seq \o\al(2,2)，则这个样本的方差为s2＝_____________ ___________________________． eq \f(n1,n)[seq \o\al(2,1)＋(eq \o(x,\s\up7(－))1 －eq \o(x,\s\up7(－)))2]＋eq \f(n2,n)[seq \o\al(2,2)＋(eq \o(x,\s\up7(－))2－eq \o(x,\s\up7(－)))2] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定．(　　) (2)数据的方差越大，样本数据分布越集中、稳定．(　　) (3)数据的标准差越小，数据分布越集中、波动幅度越小．(　　) (4)在实际问题中要做出有效决策时，主要参照样本数据的平均数和标准差或方差．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．方差是标准差的平方 B．标准差的大小不会超过极差 C．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0 D．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散 解析　标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的周围分散．所以选A，B，C. 答案　ABC 3．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表： 班级 人数 平均分数 方差 甲 20 eq \o(x,\s\up7(－))甲 2 乙 30 eq \o(x,\s\up7(－))乙 3 其中eq \o(x,\s\up7(－))甲＝eq \o(x,\s\up7(－))乙，则两个班数学成绩的方差为(　　) A．3　　　　　　　 B．2 C．2.8 D．2.5 解析　由题意可知两个班的数学成绩平均数为eq \o(x,\s\up7(－))＝eq \o(x,\s\up7(－))甲＝eq \o(x,\s\up7(－))乙，则两个班数学成绩的方差为 s2＝eq \f(20,20＋30)[2＋(eq \o(x,\s\up7(－))甲－eq \o(x,\s\up7(－)))2]＋eq \f(30,20＋30)[3＋(eq \o(x,\s\up7(－))乙－eq \o(x,\s\up7(－)))2]＝eq \f(20,20＋30)×2＋eq \f(30,20＋30)×3＝2.8. 答案　C 4．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为_______． 解析　由题意知eq \f(1,5)(a＋0＋1＋2＋3)＝1， 解得a＝－1. 所以样本方差为s2＝eq \f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2. 答案　2 eq \x(题型一　方差、标准差的计算及应用) 甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. (1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出两组数据的方差； (3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？ [解析]　 (1)eq \o(x,\s\up7(－))甲＝eq \f(1,10)×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)， eq \o(x,\s\up7(－))乙＝eq \f(1,10)×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5) ＝7(环)． (2)由方差公式s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \o(x,\s\up7(－)))2＋(x2－eq \o(x,\s\up7(－)))2＋…＋(xn－eq \o(x,\s\up7(－)))2]，得seq \o\al(2,甲)＝3，seq \o\al(2,乙)＝1.2. (3)eq \o(x,\s\up7(－))甲＝eq \o(x,\s\up7(－))乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当． 又seq \o\al(2,甲)＞seq \o\al(2,乙)，说明甲战士射击情况波动比乙大． 因此，乙战士比甲战士射击情况稳定．从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛． 1．计算标准差的算法 2．标准差(方差)的两个作用 (1)标准差(方差)较大，数据的离散程度较大；标准差(方差)较小，数据的离散程度较小． (2)在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策．在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．　 [触类旁通] 1．(多选题)甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场的进球数是3.2，全年进球数的标准差为3；乙队平均每场的进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3.下列说法中正确的是(　　) A．乙队的技术比甲队好 B．乙队发挥比甲队稳定 C．乙队几乎每场都进球 D．甲队的表现时好时坏 解析　甲队平均进球数大于乙队，所以甲队技术比乙队好，所以A不正确； 乙队进球数的标准差小于甲队，所以乙队比甲队稳定，所以B正确； 因为乙队进球数的标准差为0.3，说明每次进球数接近平均值，乙队几乎每场都进球；甲队进球数的标准差为3，说明甲队表现时好时坏，所以C，D正确，故选BCD. 答案　BCD eq \x(题型二　分层随机抽样的方差) 甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60(kg)，方差为200；乙队体重的平均数为70(kg)，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？ [解析]　由题意可知eq \o(x,\s\up7(－))甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为eq \f(1,1＋4)＝eq \f(1,5)， eq \o(x,\s\up7(－))乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为 eq \f(4,1＋4)＝eq \f(4,5)， 则甲、乙两队全部队员的平均体重为 eq \o(x,\s\up7(－))＝eq \f(1,5)×60＋eq \f(4,5)×70＝68(kg)， 甲、乙两队全部队员的体重的方差为 s2＝eq \f(1,5)[200＋(60－68)2]＋eq \f(4,5)[300＋(70－68)2]＝113.6. [素养聚焦]　借助分层随机抽样的方差的计算，把数据分析与数学运算等核心素养体现在解题过程中． 计算分层随机抽样的方差s2的步骤 (1)确定eq \o(x,\s\up7(－))1，eq \o(x,\s\up7(－))2，seq \o\al(2,1)，seq \o\al(2,2). (2)确定eq \o(x,\s\up7(－)). (3)应用公式s2＝eq \f(n1,n)[seq \o\al(2,1)＋(eq \o(x,\s\up7(－))1－eq \o(x,\s\up7(－)))2]＋eq \f(n2,n)[seq \o\al(2,2)＋(eq \o(x,\s\up7(－))2－eq \o(x,\s\up7(－)))2]，计算s2.　 [触类旁通] 2．某校为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；图书管理员乙也抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为7，方差为16.若将这两个样本合在一起组成一个容量为200的新样本，则新样本数据的平均数为_______，方差为_______． 解析　因为eq \o(x,\s\up7(－))＝eq \f(100,200)×5＋eq \f(100,200)×7＝6，s2＝eq \f(100,200)×[9＋(5－6)2]＋eq \f(100,200)×[16＋(7－6)2]＝13.5， 所以新样本数据的平均数为6，方差为13.5. 答案　6　13.5 eq \x(题型三　样本数字特征的综合应用) 从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下： 甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 (1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数； (2)经计算可得甲、乙两人射击命中环数的标准差分别为1.73和1.10，从计算结果看，选派谁去参赛更好？请说明理由． 解析　(1)计算得 eq \x\to(x)甲＝eq \f(7＋8＋6＋8＋6＋5＋9＋10＋7＋4,10)＝7， eq \x\to(x)乙＝eq \f(9＋5＋7＋8＋7＋6＋8＋6＋7＋7,10)＝7. (2)由(1)可知，甲、乙两人的平均成绩相等，由两者的数据的分布可知s甲>s乙，这表明乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以选择乙参赛． 数据分析的要点 (1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论． (2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的．　 [触类旁通] 3．某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，eq \o(b,\s\up10(－)))，(a，b)，(eq \o(a,\s\up10(－))，b)，(eq \o(a,\s\up10(－))，eq \o(b,\s\up10(－)))，(a，b)，(a，b)，(a，eq \o(b,\s\up10(－)))，(eq \o(a,\s\up10(－))，b)，(a，eq \o(b,\s\up10(－)))，(eq \o(a,\s\up10(－))，eq \o(b,\s\up10(－)))，(a，b)，(a，eq \o(b,\s\up10(－)))，(eq \o(a,\s\up10(－))，b)，(a，b)．其中a，eq \o(a,\s\up10(－))分别表示甲组研发成功和失败；b，eq \o(b,\s\up10(－))分别表示乙组研发成功和失败．若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平． 解析　甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1.其平均数为eq \o(x,\s\up10(－))甲＝eq \f(10,15)＝eq \f(2,3)； 方差为seq \o\al(2,甲)＝eq \f(1,15) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×10＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))2×5＝eq \f(2,9). 乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1， 其平均数eq \o(x,\s\up10(－))乙＝eq \f(9,15)＝eq \f(3,5)；方差seq \o\al(2,乙)＝eq \f(1,15) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))2×9＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(3,5)))2×6＝eq \f(6,25). 因为eq \o(x,\s\up10(－))甲>eq \o(x,\s\up10(－))乙，seq \o\al(2,甲)<seq \o\al(2,乙)， 所以甲组的研发水平优于乙组． 知识落实 技法强化 (1)方差、标准差的计算与应用． (2)分层随机抽样的方差. 方差、标准差易混淆. $$