阶段测评(2)(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

阶段测评(二)　[6.4] (时间90分钟，满分100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在△ABC中，a＝2，c＝2，A＝60°，则C＝(　　) A．30°　　　　　　　　 B．45° C．30°或150° D．60° 解析　由正弦定理＝，可得sin C＝＝＝， ∵a>c，则A>C，即0°＜C＜60°， ∴C＝30°.故选A. 答案　A 2．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|＝(　　) A. B．2 C. D. 解析　由题意，向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2， 可得F1＋F2＝＋＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)， 所以|F1＋F2|＝＝.故选C. 答案　C 3．(2024·重庆高二期中)已知a，b，c分别表示△ABC中内角A，B，C所对边的长，其中a＝2，B＝60°，S△ABC＝2，则△ABC的周长为(　　) A．6 B．8 C．6＋ D．6＋2 解析　因为S△ABC＝acsin B，a＝2，B＝60°，S△ABC＝2，所以c＝4， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋16－2×2×4×cos 60°＝12，所以b＝2， 故△ABC的周长为a＋b＋c＝6＋2. 答案　D 4．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin 2B＝bsin A，且c＝2a，则＝(　　) A．1 B. C. D．2 解析　因为asin 2B＝bsin A， 所以2asin Bcos B＝bsin A， 利用正弦定理可得2abcos B＝ab， 所以cos B＝，又c＝2a， 所以cos B＝＝＝， 解得＝.故选C. 答案　C 5．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析　由题设得＝，则＝⇒＝⇒tan ＝tan ， 又A，B∈(0，π)，则，∈，故＝， 即A＝B. 所以△ABC一定是等腰三角形．故选A. 答案　A 6．(2024·百色期末)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为(　　) A. B. C. D. 解析　在△ABC中，由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C及正弦定理，得2sin Bsin C＝4sin Asin Bsin C， 而sin Bsin C>0，则sin A＝，由b2＋c2－a2＝8及余弦定理得2bccos A＝8，cos A>0， 因此cos A＝＝，bc＝， 则S△ABC＝bcsin A＝×＝， 所以△ABC的面积为， 故选B. 答案　B 7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行．若c＝2，b＝，则BC边上的中线AD为(　　) A．1 B．2 C. D. 解析　由于向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行， 所以asin B＝bcos A，由正弦定理得sin Asin B＝sin Bcos A， 由于sin B>0所以sin A＝cos A， 由于0<A<π，所以A＝. ＝(＋)， 两边平方得2＝(2＋2·＋2) ＝＝＝， 所以||＝.故选D. 答案　D 8．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝，AD＝3，若点C恰好在边BD上，计算sin ∠ACD的值为(　　) A. B. C. D. 解析　由题意，在△ABD中，由余弦定理可得， cos ∠ADB＝＝＝， 因为∠ADB∈(0，π)，所以sin ∠ADB＝＝＝， 在△ACD中， 由正弦定理＝， 即＝，解得sin ∠ACD＝. 故选C. 答案　C 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝4，锐角C满足sin C＝，则(　　) A．△ABC的面积为3 B．cos C＝ C．c＝ D．cos B＝ 解析　在△ABC中，因为a＝3，b＝4，且sin C＝， 由三角形的面积公式，可得S△ABC＝absin C＝×3×4×＝，所以A错误； 由C为锐角，且sin C＝，可得cos C＝＝，所以B正确； 由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋16－2×3×4×＝19，可得c＝，所以C正确； 由余弦定理得cos B＝＝＝，所以D不正确． 故选BC. 答案　BC 10．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为R，若a＝，A＝，则(　　) A．R＝1 B.<b<2 C.·的取值范围为(0,3) D．△ABC周长的最大值为3 解析　由正弦定理得2R＝＝＝2，则R＝1，故A正确； 在锐角△ABC中，A＝，则B＋C＝π－A＝，所以得<B<， 则<sin B<1， 由正弦定理得2R＝＝2，则b＝2sin B∈，故B不正确； 又·＝·cos C＝abcos C ＝×2sin Bcos C＝2sin Bcos ＝2sin B ＝3sin 2B－sin Bcos B ＝－sin 2B－cos 2B＋ ＝－sin ＋， 由于<B<，所以<2B＋<， 则－<sin <， 于是有－sin ＋∈， 即·的取值范围为，故C正确； 由正弦定理得2R＝＝2，则c＝2sin C，所以△ABC周长为a＋b＋c＝＋2sin B＋2sin C＝＋2sin B＋2sin ＝＋3sin B＋cos B＝＋2sin ， 由于<B<，所以<B＋<，则<sin ≤1，于是有＋2sin ∈， 故△ABC周长的最大值为3，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝，b＝2，B＝45°，则c＝________. 解析　由余弦定理得22＝()2＋c2－2××c×， 即c2－2c－2＝0， 解得c＝1＋或c＝1－，因为c>0， 所以c＝1＋. 答案　1＋ 12．在△ABC中，3sin A＝2sin C，cos B＝.则sin A＝__________. 解析　由正弦定理，3sin A＝2sin C⇒3a＝2c， 所以由cos B＝＝可得3a＝2b， 所以b＝c，所以B＝C， 所以sin A＝sin＝sin 2B＝2sin Bcos B＝2××＝. 答案　 13．(2024·益阳期末)已知△ABC中，AB＝4，AC＝7，AD为边BC上的中线，若AD＝，则BC＝________. 解析　设∠BAC＝θ，AD为边BC上的中线，有＝， 故可得2＝2＋2＋··cos θ， 即＝4＋＋14cos θ，解得cos θ＝－. 由余弦定理可得BC＝＝9. 答案　9 14．为了测量某科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°(A，B，C，D在同一铅垂面内)，则A，B两点之间的距离为________米． 解析　由题意，∠DCB＝30°，∠CDB＝60°， 所以∠CBD＝90°， 所以在Rt△CBD中，BD＝CD＝300， BC＝CD＝300， 又∠DCA＝75°，∠CDA＝45°， 所以∠CAD＝60°， 在△ACD中，由正弦定理得＝， 所以AC＝×＝200， 在△ABC中，∠ACB＝∠ACD－∠BCD＝75°－30°＝45°， 由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB ＝(200)2＋(300)2－2×200×300×＝150 000， 所以AB＝100. 答案　100 四、解答题：本题共2小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求角C； (2)若c＝，△ABC的面积为，求边a，b的值． 解析　(1)由2cos C(acos B＋bcos A)＝c， 结合正弦定理得2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 即2cos Csin (A＋B)＝sin C， 故2sin Ccos C＝sin C， 因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，可得 cos C＝，所以 C＝ . (2)由△ABC的面积 S＝absin C＝， 又C＝，所以ab＝6①. 由c＝及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7， 故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25， 所以a＋b＝5②， 由①②联立解得a＝2，b＝3或a＝3，b＝2. 16．(15分)如图，长江某地南北两岸平行，江面的宽度d＝1 km，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝4 km/h，设v1和v2的夹角为θ(0＜θ＜180°)，北岸A′在A的正北方向． (1)当θ＝120°时，判断游船航行到北岸时的位置是在图中A′的左侧还是右侧，并说明理由； (2)当cos θ多大时，游船能到达A′处？需航行多长时间？ 解析　(1)θ＝120°时，游船水平方向的速度大小为|v1|cos (180°－θ)－|v2|＝1 km/h，方向水平向左，故最终到达北岸时游船在A′点的左侧． (2)若游船能到A′处，则有|v2|＝|v1|cos (180°－θ)， 则有cos θ＝－cos (180°－θ)＝－＝－， 所以sin θ＝， 此时游船垂直江岸方向的速度|v|＝|v1|sin θ＝2 km/h， 时间t＝＝ h. 学科网（北京）股份有限公司 $$