阶段测评(1)(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

阶段测评(一)　[6.1—6.3] (时间90分钟，满分100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．化简＋－的结果等于(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析　＋－＝－＝.故选D. 答案　D 2．向量a＝(x,2)，b＝(1，－2)，若a∥b，则x＝(　　) A．4 B．2 C．1 D．－1 解析　由题意＝，则x＝－1. 故选D. 答案　D 3．已知向量a，b，其中|a|＝3，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则|a＋b|＝(　　) A. B．4 C．0 D．2 解析　向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·b＝|a||b|cos 60°＝3×1×＝， 所以|a＋b|＝＝＝.故选A. 答案　A 4．设D为△ABC所在平面内一点，B＝3，则(　　) A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 解析　因为＝3， 所以－＝3， 得＝－＋， 故选A. 答案　A 5．已知a·b＝15，|a|＝5，|b|＝3，则b在a上的投影向量为(　　) A.a B.b C.a D.b 解析　b在a上的投影向量为|b|cos 〈a，b〉·＝·＝a＝a.故选A. 答案　A 6.如图，设Ox，Oy是平面内相交成θ角(0<θ<π)的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量＝xe1＋ye2，则称有序实数对(x，y)为向量在坐标系Oxy中的坐标，已知在该坐标系下，向量＝(1,2)，＝(2,1)，若⊥，则cos θ＝(　　) A．－ B. C．－ D. 解析　由题意可得向量＝(1,2)＝e1＋2e2，＝(2,1)＝2e1＋e2，|e1|＝|e2|＝1. 因为⊥，所以·＝(e1＋2e2)·(2e1＋e2)＝2e＋5e1·e2＋2e＝2＋5×1×1×cos θ＋2＝4＋5cos θ＝0， 所以cos θ＝ －.故选A. 答案　A 7．(2024·广州期末)菱形ABCD中，AC＝2，BD＝4，点E在线段CD上，则A·的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析　建立如图所示坐标系，则A，B，C，D， 设E，＝λ，λ∈， 则E，＝，＝， 所以·＝2－5λ∈. 故选D. 答案　D 8．已知P为△ABC内任意一点，若满足＋2＋3＝0，则＝(　　) A. B. C. D. 解析　分别取AC，BC的中点E，F，连接PF，PE，FE. 则＋2＋3＝(＋)＋2(＋)＝2＋4＝0， 则＝－2，即点P为线段EF靠近F的一个三等分点． 所以＝＝＝. 故选D. 答案　D 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论不正确的是(　　) A．0·a＝0 B．(a·b)·c＝a·(b·c) C．a·b＝0⇒a⊥b D．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2 解析　由a，b，c是任意的非零向量， 对于A，0·a＝0，故A错误； 对于B，(a·b)·c表示与c共线的向量，a·(b·c)表示与a共线的向量，而a，c不一定共线，故B错误； 对于C，因为a，b非零向量，若a·b＝0，则a⊥b，故C正确； 对于D，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，故D正确．故选AB. 答案　AB 10．石墨的二维层状结构存在如图所示的环状正六边形，正六边形ABCDEF为其中的一个六元环，设AB＝1，P为正六边形ABCDEF内一点(包括边界)，则下列说法正确的是(　　) A.＝4＋4 B.·＝32 C.在上的投影向量为 D.·的取值范围为 解析　如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系， 则A(0,0)，B，C，D，E，F， 可得＝，＝， ＝，＝. 对于A，因为4＋4＝(4,0)，则≠4＋4，故A错误； 对于B，·＝×2＋×0＝3＝2，故B正确； 对于C，因为〈，〉＝60°， 则cos 〈，〉＝2×＝1， 所以在上的投影向量为＝，故C正确； 对于D，分别过C，F作直线AB的垂线，垂足分别为M，N， 则BM＝AN＝，可得在上的投影的取值范围为， 且＝1，所以·的取值范围为，故D正确；故选BCD. 答案　BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________. 解析　设＝a，＝b， 则＝a＋b，＝a＋b， 又∵＝a＋b， ∴＝(＋)， 即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝. 答案　 12．已知▱ABCD中，E是线段CD上靠近D的三等分点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝__________. 解析　因为E是线段CD上靠近D的三等分点，所以＝， 所以＝＋＝＋＝－＋， 又＝λ＋μ，且与不共线， 所以所以λ＋μ＝－＋1＝. 答案　 13．在边长为3的等边三角形ABC中，＝2，则·等于______ . 解析　由题意可得〈，〉＝，||＝3，||＝2， ∴·＝||·||cos 〈，〉＝3×2×＝3. 答案　3 14．已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是AC的中点．若M为BC的中点，则·为________，若M为BC上的动点，则·的取值范围为________． 解析　以B为原点，BC所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则B(0,0)，C(8,0)，A(4,3)，故D， 当M为BC中点时，M(4,0)， 此时＝(4,0)，＝， 故·＝8. 当M为BC上的动点，设M(t,0)，0≤t≤8， 此时＝(8－t,0)，＝(6－t，)， 故·＝t2－14t＋48＝(t－7)2－1， 因为0≤t≤8，故－1≤(t－7)2－1≤48， 故·的取值范围为[－1,48]． 答案　8　[－1,48] 四、解答题：本题共2小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(2a＋b)(2a－b)＝3. (1)求； (2)当a·b＝－时，求|2a＋b|和向量b与2a＋b的夹角θ的值． 解析　(1)由已知得4|a|2－|b|2＝3， 即4×12－|b|2＝3，|b|＝1. (2)|2a＋b|2＝4a2＋4a·b＋b2＝4－2＋1＝3，∴|2a＋b|＝. b·(2a＋b)＝2a·b＋b2＝2×＋12＝0， cos θ＝＝＝0， ∵θ∈[0，π]，所以θ＝. 16．(15分)已知m>0，n>0，如图，在△ABC中，点M，N满足＝m，＝n，D是线段BC上一点，＝，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线． (1)求3m＋6n的最小值； (2)若点O满足2＝＋，证明：OE∥BC. (1)解析　由题可知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 因为点E为AD的中点， 所以＝＝＋. ∵＝m ，＝n， ＝＋， 因为M，N，E三点共线，所以＋＝1， ∴3m＋6n＝(3m＋6n)＝2＋≥2＋2＝4， 当且仅当m＝，n＝时，等号成立． 所以3m＋6n的最小值为4. (2)证明　由2＝＋，则2＝＋＋＋，即＝， ＝－＝－(＋)＝－＝， 所以∥，又E，C，B三点不共线， 所以OE∥BC. 学科网（北京）股份有限公司 $$