第6章 平面向量及其应用 章末达标检测(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

[满分：150分，时间：120分钟] 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝(　　) A．{(1,1)}　　　　　 B．{(－1,1)} C．{(1,0)} D．{(0,1)} 解析　设a＝(x，y)，则P＝， 所以集合P相当于直线x＝1上的点的集合， 同理集合Q相当于直线x＋y＝2上的点的集合， 即P＝{(x，y)|x＝1}，Q＝{(x，y)|x＋y－2＝0}， 所以P∩Q＝{(1,1)}． 答案　A 2．(＋)＋(＋)＋化简后等于(　　) A. B. C. D. 解析　原式＝＋＋＋＋＝. 答案　C 3．已知向量a＝(－1，x)，b＝(1，x)，若2b－a与a垂直，则|a|＝(　　) A．1 B. C．2 D．4 解析　由题意，得2b－a＝2(1，x)－(－1，x)＝(3，x)，因为(2b－a)⊥a， 所以－1×3＋x2＝0， 即x2＝3， 所以|a|＝ ＝2. 答案　C 4．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，则b＝(　　) A．5 B．10 C. D．5 解析　由正弦定理，得＝， ∴b＝·10＝×10＝5. 答案　D 5．(2023·全国甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(2,2)，则cos〈a＋b，a－b〉＝(　　) A. B. C. D. 解析　因为a＝(3,1)，b＝(2,2)，所以a＋b＝(5,3)，a－b＝(1，－1)， 则＝＝，＝＝，(a＋b)·(a－b)＝5×1＋3×(－1)＝2， 所以cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝. 故选B. 答案　B 6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccos B＋bcos C＝，且b2＋c2－a2＝bc，则＝(　　) A. B. C．2 D. 解析　把余弦定理代入ccos B＋bcos C＝，得a＝， 由b2＋c2－a2＝bc，得2bccos A＝bc， ∴cos A＝，∴A＝.所以＝＝2. 故选C. 答案　C 7．(2023·全国甲卷)已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析　因为a＋b＋c＝0，所以a＋b＝－c， 即a2＋b2＋2a·b＝c2，即1＋1＋2a·b＝2， 所以a·b＝0. 如图所示，设＝a，＝b，＝c， 由题知，OA＝OB＝1，OC＝，△OAB是等腰直角三角形， AB边上的高OD＝，AD＝， 所以CD＝CO＋OD＝＋＝， tan∠ACD＝＝，cos∠ACD＝， cos〈a－c，b－c〉＝cos∠ACB＝cos 2∠ACD＝2cos2∠ACD－1＝2×2－1＝. 答案　D 8．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　) A．346 B．373 C．446 D．473 解析　通过作辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得A′B′，进而得到答案． 过C作CH⊥BB′，过B作BD⊥AA′， 故AA′－CC′＝AA′－(BB′－BH)＝AA′－BB′＋100＝AD＋100， 由题，易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD＝DB. 所以AA′－CC′＝DB＋100＝A′B′＋100. 因为∠BCH＝15°，所以CH＝C′B′＝， 在△A′B′C′中，由正弦定理，得 ＝＝＝， 而sin 15°＝sin(45°－30°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝， 所以A′B′＝＝100(＋1)≈273， 所以AA′－CC′＝A′B′＋100≈373.故选B. 答案　B 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列命题错误的有(　　) A．若a，b都是单位向量，则a＝b B．若a∥b，且b∥c，则a∥c C．若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线 D．向量的模与向量的模相等 解析　直接利用单位向量，向量的相等，向量的共线，向量的模的相关的定义的应用判断A，B，C，D的结论． 对于A：若a，b都是单位向量，则＝，因为a，b的方向不一定相同，故a，b不一定相等，故A错误； 对于B：因为a∥b，且b∥c，当b＝0时，b与任何向量都平行，故不能得到a∥c，故B错误； 对于C：非零向量与是共线向量，即∥，不能得到A，B，C，D四点共线，故C错误； 对于D：向量与向量互为相反向量，故向量与向量的模相等，故D正确．故选A，B，C. 答案　ABC 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是(　　) A．a2＝b2＋c2－2bccos A B．asin B＝bsin A C．a＝bcos C＋ccos B D．acos B＋bcos A＝sin C 解析　由在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，知： 在A中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，故A正确； 在B中，由正弦定理，得＝， ∴asin B＝bsin A，故B正确； 在C中，由余弦定理，得 bcos C＋ccos B ＝b×＋c× ＝＝a，故C正确； 在D中，由余弦定理，得acos B＋bcos A＝a×＋b×＝c≠sin C，故D错误．故选A，B，C. 答案　ABC 11．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是(　　) A．(a·b)c－(c·a)b＝0 B．|a|－|b|＜|a－b| C．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直 D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 解析　由于b，c是不共线的向量，因此(a·b)c不一定等于(c·a)b，故A错误； 由于a，b不共线，故a，b，(a－b)构成三角形，因此B正确； 由于[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，故C中两向量垂直，故C错误； 根据向量数量积的运算可以得出D是正确的． 故选B，D. 答案　BD 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知点A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内一点，且·＝1，则满足条件的点C的一个坐标为________． 解析　设C(x，y)，则＝(－1,1)，＝(x－1，y)， ∴·＝－(x－1)＋y＝1， 解得y＝x，即C点只要满足横、纵坐标相同就符合题意，例如(1,1)． 答案　(1,1)(形如(x，x)的坐标均正确) 13．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________. 解析　S△ABC＝acsin B＝ac＝， 所以ac＝4. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac＝3ac－ac＝2ac＝8.所以b＝2. 答案　2 14．(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝________；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则·的最小值为________． 解析　(坐标法)　以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，E，所以＝，＝(－1,0)，＝(0,1)，因为＝λ＋μ，所以＝λ(－1,0)＋μ(0,1)，所以λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝.由B(1,0)，E可得直线BE的方程为y＝－3(x－1)，设F(a,3－3a)，则G，所以＝(a,3－3a)，＝，所以·＝a·＋(3－3a)·＝5a2－6a＋＝52－，所以当a＝时，·取得最小值，为－. 答案　　－ 四、解答题(本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，a⊥c，且b·c＝3. (1)求c的坐标； (2)求向量a－c在向量b上的投影向量的模． 解析　(1)设c＝(x，y)，a⊥c，故a·c＝x＋2y＝0，且b·c＝y＝3， 所以y＝3，x＝－6，故c＝(－6,3)； (2)a－c＝(7，－1)，(a－c)·b＝·＝－1， 故a－c在b上的投影向量的模为＝＝1. 16．(15分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0. (1)用，表示； (2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形． (1)解析　因为2＋＝0， 所以2(－)＋(－)＝0， 2－2＋－＝0， 所以＝2－. (2)证明　如图， ＝＋＝－＋ ＝(2－)． 故＝. 即DA∥OC，且DA≠OC. 故四边形OCAD为梯形． 17．(15分)已知a＝(2x－y＋1，x＋y－2)，b＝(2，－2)． (1)当x，y为何值时，a与b共线？ (2)是否存在实数x，y，使得a⊥b，且|a|＝|b|？若存在，求出xy的值；若不存在，请说明理由． 解析　(1)因为a与b共线，所以存在实数λ，使得a＝λb， 所以解得 所以当x＝，y为任意实数时，a与b共线． (2)由a⊥b⇒a·b＝0⇒(2x－y＋1)×2＋(x＋y－2)×(－2)＝0⇒x－2y＋3＝0.① 由|a|＝|b|⇒(2x－y＋1)2＋(x＋y－2)2＝8.② 联立①②解得或 所以xy＝－1或xy＝. 所以存在实数x，y，使得a⊥b，且|a|＝|b|， 此时xy＝－1或xy＝. 18．(17分)(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin＝sin B. (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解析　(1)∵A＋B＝3C， ∴π－C＝3C，即C＝. 又2sin(A－C)＝sin B＝sin(A＋C)， ∴2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C， ∴sin Acos C＝3cos Asin C， ∴sin A＝3cos A， 即tan A＝3，所以0<A<， ∴sin A＝＝. (2)由(1)知，cos A＝＝， 由sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＝， 由正弦定理＝， 可得b＝＝2， 设AB边上的高为h， ∴AB·h＝AB·AC·sin A， ∴h＝b·sin A＝2×＝6. 即AB边上的高为6. 19．(17分)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2. (1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积； (2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 解析　(1)因为2sin C＝3sin A，则2c＝2＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6， cos C＝＝，所以C为锐角， 则sin C＝＝， 因此S△ABC＝absin C＝×4×5×＝； (2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角， 由余弦定理，可得cos C＝＝＝<0， 解得－1<a<3，则0<a<3， 由三角形三边关系，可得a＋a＋1>a＋2，解得a>1， ∵a∈Z，故a＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$