9.2.2 总体百分位数的估计(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．已知一组数据为85,87,88,90,92，则这组数据的第60百分位数为(　　) A．87　　　　　　　 B．87.5 C．89 D．91 解析　根据一组数的百分位数的定义直接计算即可． 该组数据从小到大排序为85,87,88,90,92，共5个数据，而5×60%＝3， 所以这组数据的第60百分位数为＝89.故选C. 答案　C 2．如图所示是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 解析　由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的排列为：－3，－2，－1，－1,0,0,1, 2, 2, 2， 因为共有10个数据，所以10×80%＝8，是整数，则这10天最低气温的第80百分位数是＝2. 答案　D 3．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩： 78,70,72,86,88,79,80,81, 94,84,56, 98,83,90,91， 则这15人成绩的第80百分位数是(　　) A．90 B．90.5 C．91 D．91.5 解析　把成绩按从小到大的顺序排列为： 56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98， 因为15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位是＝90.5. 答案　B 4．按从小到大顺序排列的9个数据：10,16,25,33,39,43，m,65,70，若这组数据的第一四分位数与第三四分位数的和是73，则m等于(　　) A．40 B．45 C．48 D．62 解析　因为9×25%＝2.25，所以第一四分位数为25，因为9×75%＝6.75，所以第三四分位为m，则25＋m＝73，所以m＝48. 答案　C 5．已知30个数据的第60百分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是________． 解析　由于30×60%＝18，设第19个数据为x，则＝8.2，解得x＝8.6，即19个数据是8.6. 答案　8.6 6．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，估计此样本数据的第50百分位数为________． 解析　样本数据低于10的比例为0.08＋0.32＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40＋0.36＝0.76，所以此样本数据的第50百分位数在[10,14]内，估计此样本数据的第50百分位数为10＋×4＝. 答案　 7．某城市抽样调查了100户居民月均用水量(单位：吨)，并作出频率分布表如表所示， 分组 频数 频率 [1,1.5) 6 0.06 [1.5,2) 18 0.18 [2,2.5) 44 0.44 [2.5,3) 16 0.16 [3,3.5) 11 0.11 [3.5,4] 5 0.05 试估计第80百分位数为________． 解析　∵0.06＋0.18＋0.44＝0.68， 0．06＋0.18＋0.44＋0.16＝0.84， ∴第80百分位数位于[2.5,3)内，则第80百分位数为2.5＋×0.5＝2.875. 答案　2.875 8．某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2024年国庆节期间的网购金额，所得数据如下表： 网购金额/千元 人数 频率 (0,1] 16 0.08 (1,2] 24 0.12 (2,3] x p (3,4] y q (4,5] 16 0.08 (5,6] 14 0.07 合计 200 1.00 已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2. (1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图)； (2)估计网购金额的25%分位数(结果保留3位有效数字)． 解析　(1)根据题意有： 解得 所以p＝0.4，q＝0.25. 补全频率分布直方图如图所示： (2)由(1)可知，网购金额不高于2千元的频率为 0．08＋0.12＝0.2， 网购金额不高于3千元的频率为0.2＋0.4＝0.6， 所以网购金额的25%分位数在(2,3]内， 则网购金额的25%分位数为2＋×1＝2.125千元． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知甲、乙两组数据： 甲组：27, 28,39,40, m, 50； 乙组：24, n, 34,43, 48, 52； 若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等，则(　　) A．m＝48 B．n＝28 C．m＝46 D．n＝26 解析　因为30%×6＝1.8,80%×6＝4.8， 所以第30百分位数为n＝28，第80百分位数为m＝48.所以选A，B. 答案　AB 10．(多选题)某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩(单位：分)统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组的取值区间均为左闭右开)，画出频率分布直方图(如图)，则下列说法正确的是(　　) A．在被抽取的学生中，成绩在区间[90,100)内的学生有160人 B．图中x的值为0.020 C．估计全校学生成绩的中位数约为86.7 D．估计全校学生成绩的80%分位数为95 解析　由题意，成绩在区间[90,100)内的学生人数为400×0.040×10＝160，故A正确； 由(0.005＋0.010＋0.015＋x＋0.040)×10＝1， 得x＝0.030，故B错误； 由于前3组的频率和 (0.005＋0.010＋0.015)×10＝0.3<0.5， 前4组的频率和 (0.005＋0.010＋0.015＋0.030)×10＝0.6>0.5， 所以中位数在第4组，设中位数为a，则 (0.005＋0.010＋0.015)×10＋0.030(a－80)＝0.5，得a≈86.7，故C正确； 低于90分的频率为1－0.4＝0.6，设样本数据的80%分位数为n，则＝，解得n＝95，故D正确． 答案　ACD 11．为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7,6,8,9,8,7,10，m.若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数m(1≤m≤10)的值可以是________．(写出一个满足条件的m值即可) 解析　7,6,8,9,8,7,10，m，若去掉m，该组数据从小到大排列为6,7,7,8,8,9,10，则7×0.25＝1.75，故第25百分位数为第二个数，即7， 所以7,6,8,9,8,7,10，m，第25百分位数为7，而8×0.25＝2， 所以7为第二个数与第三个数的平均数，所以m(1≤m≤10)的值可以是7或8或9或10. 答案　7(7,8,9,10均可) 12．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得： (1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________； (2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的85%分位数为________岁． 解析　(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04. (2)由图可知年龄小于40岁的频率为(0.01＋0.04＋0.07＋0.06)×5＝0.8， 且所有志愿者的年龄都小于45岁，所以志愿者年龄的85%分位数在[40,45]内， 因此志愿者年龄的85%分位数为 40＋×5＝41.25(岁)． 答案　(1)0.04　(2)41.25 13．某市对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人． (1)求x； (2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)； (3) 以下是参赛的10人的成绩：90,96,97,95,92,92,98,88,96,99， 求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想． 解析　(1)第一组频率为0.01×5＝0.05， 所以x＝＝100. (2)由图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%，所以抽取的x人的年龄的50%分位数在[30,35)内，由30＋5×＝≈32，所以抽取的x人的年龄的50%分位数为32. (3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列：88,90,92,92,95,96,96,97, 98, 99， 计算10×20%＝2，所以这10人成绩的20%分位数为＝91， 这10人成绩的平均数为(88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99)＝94.3. 评价：从百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高． 感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可． [学科素养·探索创新] 14．(多选题)为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长(单位：分钟)，分别为53,57,45,61,79,49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x的值可能为(　　) A．58 B．59 C．62 D．64 解析　将已知的6个数从小到大排序为45,49,53,57,61,79. 若x≤57，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57， 他们的差为4，不符合条件； 若x≥79，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61， 它们的差为18，不符合条件； 若57＜x＜79，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61(或61和x)， 则|x－61|＝3，解得x＝58或x＝64.故选AD. 答案　AD 15．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图： (1)估计总体400名学生中分数小于70的人数； (2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数； (3) 根据该大学规定，把15%的学生划定为不及格，利用(2)中的数据，确定本次测试的及格分数线，低于及格分数线的学生需要补考． 解析　(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4. 所以总体400名学生中分数小于70的人数为 400×0.4＝160. (2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9， 分数在区间[40,50)内的人数为 100－100×0.9－5＝5. 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为 400×＝20. (3)设分数的第15百分位数为x，由(2)可知，分数小于50的频率为＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2，所以x∈[50,60)，则0.1＋(x－50)×0.01＝0.15， 解得x＝55，则本次考试的及格分数线为55分. 学科网（北京）股份有限公司 $$