8.6.3 平面与平面垂直(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小是(　　) A．30°　　　　　　 B．45° C．60° D．90° 解析　如图，由正方体的性质易知AB⊥平面ADD′A′，则AB⊥AD，AB⊥AD′， 则∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角， 又因为四边形ADD′A′为正方形， 所以∠D′AD＝45°，即二面角D′－AB－D的大小是45°，故选B. 答案　B 2．下列命题正确的是(　　) A．若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β B．若平面α⊥β，则α内的直线垂直于平面β C．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β D．若直线a与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有a⊥α 解析　若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β，故A错误；由面面垂直的性质定理知，只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面，故B错误；平面α⊥β，且α∩β＝l，则只有过α内一点P与l垂直的直线在α内时才垂直于β，故C错误；a与平面α内的任意一条直线都垂直可以推出a⊥α，故D正确． 答案　D 3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(　　) A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADB C．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC 解析　∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC. 答案　D 4．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于点F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(　　) A．平行 B．EF⊂平面A1B1C1D1 C．相交但不垂直 D．相交且垂直 解析　由于长方体中平面ABB1A1⊥平面ABCD，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF与平面A1B1C1D1相交且垂直． 答案　D 5．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________． 解析　因为α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l， 所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n. 答案　平行 6．下列四个命题中，正确的序号有________． ①若α∥β，β⊥γ，则α⊥γ； ②若α∥β，β∥γ，则α∥γ； ③若α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ； ④若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ. 解析　③④不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直． 答案　①② 7．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 解析　由题意得BD⊥AC， ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD. 又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC. ∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD， 而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 答案　DM⊥PC(或BM⊥PC等) 8．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD. 证明　连接AC，交BD于点F，连接EF， 则EF是△SAC的中位线， ∴EF∥SC. ∵SC⊥平面ABCD， ∴EF⊥平面ABCD. 又EF⊂平面EDB. ∴平面EDB⊥平面ABCD. [关键能力·综合提升] 9.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　　) A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC C．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45° 解析　∵AD与PB在平面ABCDEF内的射影AB不垂直，∴A不正确； 可证得平面PAB⊥平面PAE，∴B不正确； 又BC∥AD，AD与平面PAE相交，∴C不正确； ∵PA⊥平面ABC， ∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角． ∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB， ∴tan ∠ADP＝＝＝1， ∴直线PD与平面ABC所成的角为45°， ∴D正确． 答案　D 10．(多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P－AC－O为45°，则(　　) A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为4π C．AC＝2 D．△PAC的面积为 解析　取AC中点D，则OD⊥AC，PD⊥AC，二面角P－AC－O的平面角为∠PDO＝45°， 在△PAB中，PO＝1，AO＝，则OD＝1，V＝·3π·1＝π，A正确； S侧＝PA·2π·＝2π，B错误； AC＝2＝2，C正确； PD＝，S△PAC＝××2＝2，D错误．选AC. 答案　AC 11．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P­BC­A的大小为________． 解析　取BC的中点O，连接OA，OP(图略)，则∠POA为二面角P­BC­A的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°. 答案　90° 12．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝________. 解析　因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B­AD­C的平面角，因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°.因为AB＝AC＝1，所以BD＝DC＝，则BC＝＝＝1. 答案　1 13．(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F­ABC的体积． (1)证明　由于AD＝CD，E是AC的中点，所以AC⊥DE. 由于所以△ADB≌△CDB， 所以AB＝CB，故AC⊥BD， 由于DE∩BD＝D，DE，BD⊂平面BED， 所以AC⊥平面BED， 由于AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD. (2)解析　依题意AB＝BD＝BC＝2，∠ACB＝60°，三角形ABC是等边三角形， 所以AC＝2，AE＝CE＝1，BE＝， 由于AD＝CD，AD⊥CD，所以三角形ACD是等腰直角三角形，所以DE＝1. DE2＋BE2＝BD2，所以DE⊥BE， 由于AC∩BE＝E，AC，BE⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC. 由于△ADB≌△CDB，所以∠FBA＝∠FBC， 由于，所以△FBA≌△FBC， 所以AF＝CF，所以EF⊥AC， 由于S△AFC＝·AC·EF，所以当EF最短时，三角形AFC的面积取最小值． 过E作EF⊥BD，垂足为F， 在Rt△BED中，·BE·DE＝·BD·EF，解得EF＝， 所以DF＝＝，BF＝2－DF＝， 所以＝ 过F作FH⊥BE，垂足为H，则FH∥DE， 所以FH⊥平面ABC， 且＝＝， 所以FH＝， 所以VF­ABC＝·S△ABC·FH＝××2××＝. [学科素养·探索创新] 14.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内运动，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是(　　) 解析　∵MP＝MC， ∴点M在PC的中垂面α上， ∴点M在正方形ABCD内的轨迹一定是平面α和正方形ABCD的交线． ∵四边形ABCD为正方形，侧面PAD为等边三角形，∴PD＝CD. 取PC的中点N(图略)，有DN⊥PC， 取AB的中点H，易知CH＝HP， ∴HN⊥PC. 又∵DN∩HN＝N， ∴PC⊥平面DHN，∴平面DHN即为平面α. 又∵平面DHN∩平面ABCD＝HD， ∴点M在正方形ABCD内的轨迹一定是线段HD， 即点D与AB中点的连线段． 答案　B 15．已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)． (1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC； (2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD? (1)证明　∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD. ∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又＝＝λ(0<λ<1)， ∴不论λ为何值，恒有EF∥CD， ∴EF⊥平面ABC. 又EF⊂平面BEF， ∴不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC. (2)解析　由(1)知，EF⊥BE， 又平面BEF⊥平面ACD， ∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC. ∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°， AB⊥平面BCD， ∴BD＝，AB＝tan 60°＝， ∴AC＝＝， 由AB2＝AE·AC得AE＝， ∴λ＝＝，故当λ＝时， 平面BEF⊥平面ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $$