8.6.1 直线与直线垂直(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(　　) A．30°　　　　　　 B．45° C．60° D．90° 解析　连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°. 答案　C 2.空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(　　) A．空间四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 解析　易证四边形EFGH为平行四边形．又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形． 答案　B 3．已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列结论一定不可能成立的是(　　) A．l与AD平行 B．l与AB异面 C．l与CD所成的角为30° D．l与BD垂直 解析　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行． 由于AD∥B1C1，∴l必与直线AD不平行． 答案　A 4．(多选题)四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是(　　) A．MN与PD是异面直线 B．MN∥平面PBC C．MN∥AC D．MN⊥PB 解析　如图，MN与PD是异面直线，A正确； 取PB的中点为H，连接MH，HC，可得MN∥HC，又HC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC，B正确；连接AC，由MN∥HC，HC∩AC＝C，得MN不平行于AC，C不正确；因为HC⊥PB，所以MN⊥PB，D正确． 答案　ABD 5．若正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则B1D与CC1所成角的正切值为________． 解析　如图，B1D与CC1所成的角为∠BB1D. ∵△DBB1为直角三角形． ∴tan∠BB1D＝＝. 答案　 6.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中， E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为__________． 解析　连接BC1，AD1，AB1， 则EF为△BCC1的中位线，∴EF∥BC1. 又∵ABCDC1D1， ∴四边形ABC1D1为平行四边形．∴BC1∥AD1. ∴EF∥AD1. ∴∠AD1B1为异面直线EF和B1D1所成的角或其补角． 在△AB1D1中，易知AB1＝B1D1＝AD1， ∴△AB1D1为正三角形， ∴∠AD1B1＝60°. ∴EF与B1D1所成的角为60°. 答案　60° 7．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________. 解析　如图，取AD的中点P，连接PM，PN， 则BD∥PM，AC∥PN， ∴∠MPN(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角， ∴∠MPN＝90°， PN＝AC＝4，PM＝BD＝3， ∴MN＝＝5. 答案　5 8．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角． 解析　因为D，E分别是VB，VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角或其补角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°. [关键能力·综合提升] 9．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　) A. B． C. D． 解析　如图，∠PBC1为直线PB与AD1所成角的平面角． 易知△A1BC1为正三角形，又P为A1C1中点，所以∠PBC1＝. 答案　D 10．(多选题)如图，三棱柱ABC ­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述中不正确的有(　　) A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面 C．AE，B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60° 解析　由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误． 答案　ABD 11.正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是平面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF和CD所成的角是________． 解析　连接B1D1，则E为B1D1的中点，连接AB1，EF∥AB1，又CD∥AB，∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B1AB＝45°. 答案　45° 12.如图，在圆柱OO1中，底面半径为1，OA⊥O1B，异面直线AB与OO1所成角的正切值为，则圆柱的高为________． 解析　如图，过B作OO1的平行线交底面圆O于点H，连接OH，AH， 则∠ABH即为异面直线AB与OO1所成的角，tan ∠ABH＝， 易知OH∥O1B且OH＝O1B， 由OA⊥O1B可知，OA⊥OH， 所以AH＝＝， 又tan ∠ABH＝， 所以圆柱OO1的高BH＝＝4. 答案　4 13.已知三棱锥A­BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角． 解析　如图，取AC的中点P，连接PM，PN， 因为点M，N分别是BC，AD的中点， 所以PM∥AB，且PM＝AB， PN∥CD，且PN＝CD， 所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角． 所以∠PMN(或其补角)为AB与MN所成的角． 因为直线AB与CD成60°角， 所以∠MPN＝60°或∠MPN＝120°. 又因为AB＝CD，所以PM＝PN， ①若∠MPN＝60°，则△PMN是等边三角形， 所以∠PMN＝60°，即AB与MN所成的角为60°. ②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形． 所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°. 综上可知：AB与MN所成角为60°或30°. [学科素养·探索创新] 14．当动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是(　　) A. B． C. D． 解析　设正方体棱长为1，DP＝x，则x∈[0,1]，连接AD1，AP(图略)， 由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角， 在△AD1P中，AD1＝，AP＝D1P＝， 故cos ∠AD1P＝， 又∵x∈[0,1]， ∴ cos ∠AD1P＝∈， 又∠AD1P∈(0，π)，∴∠AD1P∈. 答案　C 15.在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值． 解析　如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC­A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD， 由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角． 设AB＝a， ∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1， ∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos 30°＝a. 又∠BAC＝90°，∴在矩形ABDC中，AD＝a， ∴A1D1＝a， ∴A1D＋A1B2＝BD，∴∠BA1D1＝90°， ∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$