8.3.2 第2课时 球的表面积和体积(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．直径为 6 的球的表面积和体积分别是(　　) A．36π，144π　　　　　　 B．36π，36π C．144π，36π D．144π，144π 解析　球的半径为 3，表面积 S＝4π·32＝36π，体积 V＝π·33＝36π. 答案　B 2．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是(　　) A. cm3 B． cm3 C. cm3 D． cm3 解析　根据球的截面性质，有R＝＝＝5， ∴V球＝πR3＝π( cm3)． 答案　C 3．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是(　　) A.π B． C．4π D．32π 解析　由题意可知，6a2＝24，∴a＝2. 设正方体外接球的半径为R，则a＝2R， ∴R＝，∴V球＝πR3＝4π. 答案　C 4．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈.如果球的半径为，根据“开立圆术”的方法求得的球的体积约为(　　) A. B． C. D． 解析　由题意，得r＝，d＝， 所以≈ ，解得V≈. 答案　D 5．火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的________倍． 解析　设火星半径为r，则地球半径为2r， ＝＝8. 答案　8 6．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为________． 解析　由两球的体积之比为8∶27， 可得半径之比为2∶3， 故表面积之比是4∶9. 答案　4∶9 7．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________． 解析　设正方体的棱长为a，球的半径为R， 则πR3＝π，∴R＝，∴a＝3，∴a＝. 答案　 8．将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高了4 cm，求钢球的半径． 解析　圆柱形玻璃容器中水面上升了4 cm，则知钢球的体积V＝π·32·4＝36π. 设钢球的半径为R，则πR3＝36π， ∴R＝3 cm. 所以钢球的半径为3 cm. [关键能力·综合提升] 9．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36 000 km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)．将地球看作是一个球心为O，半径r为6 400 km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S＝2πr2(1－cos α)(单位：km2)，则S占地球表面积的百分比约为(　　) A．26% B．34% C．42% D．50% 解析　由题意可得，S占地球表面积的百分比约为： ＝＝≈0.42＝42%.故选C. 答案　C 10．一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3,4,5，则它的外接球的表面积是(　　) A．20π B．25π C．50π D．200π 解析　因为这个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以此三棱锥可视为一个长方体的一个角(如图所示)，而且此长方体的外接球就是三棱锥的外接球．设三棱锥的外接球半径为r，则有(2r)2＝32＋42＋52＝50，即4r2＝50，它的外接球的表面积是S＝4πr2＝50π. 答案　C 11．已知长方体的8个顶点在同一个球面上，且长方体的对角线长为4，则该球的体积是________． 解析　长方体的对角线即为球的直径， ∴2R＝4，∴R＝2， ∴该球的体积V＝π×23＝π. 答案　 12．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________． 解析　设球的半径为R，则 V圆柱＝πR2·2R＝2πR3， V圆锥＝πR2·2R＝πR3， V球＝πR3， 故V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2. 答案　3∶1∶2 13．若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积． 解析　在底面正六边形ABCDEF中，连接BE、AD交于O，连接BE1，则BE＝2OE＝2DE＝， 在Rt△BEE1中，BE1＝＝2， 所以2R＝2，则R＝， 所以球的体积V球＝πR3＝4π， 球的表面积S球＝4πR2＝12π. [学科素养·探索创新] 14．球的一个内接圆锥满足球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________． 解析　①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示， 设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是， 于是圆锥的底面半径为＝， 高为. 该圆锥的体积为×π×2×＝πr3， 球的体积为πr3， ∴该圆锥的体积和此球体积的比值为＝. ②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为. 答案　或 15.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC＝30°) 解析　如图所示， 过C作CO1⊥AB于O1. 在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°， AB＝2R， ∴AC＝R，BC＝R， CO1＝R， ∴S球＝4πR2， S圆锥AO1侧＝π×R×R＝πR2， S圆锥BO1侧＝π×R×R＝πR2， ∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧 ＝4πR2＋πR2＋πR2＝πR2. 故旋转所得几何体的表面积为πR2. 学科网（北京）股份有限公司 $$