8.3.2 第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．已知圆柱OO1及其展开图如图所示，则其体积为(　　) A．π　　　　　　　　 B．2π C．3π D．4π 解析　结合展开图求出圆柱的底面半径与高，进而结合体积公式即可求出结果． 设底面半径为r，高为h，根据展开图得则所以圆柱的体积为πr2h＝π×12×4＝4π，故选D. 答案　D 2．已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为2，则该圆锥的体积等于(　　) A.π B.π C.π D．2π 解析　依题意求出圆锥的底面半径和高即可． 圆锥母线为l＝2，底面半径为r＝1， 则h＝＝， 所以圆锥的体积V＝×πr2×h＝×π×＝.故选A. 答案　A 3．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为(　　) A．3　　 B．4　　　 C．5　　 D．6 解析　设圆台的高为h，由题意知V＝π(12＋1×2＋22)h＝7π，解得h＝3. 答案　A 4．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　) A．1∶2 B．1∶ C．1∶ D.∶2 解析　设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r.∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶. 答案　C 5．已知圆台的上底半径为2，下底半径为4，圆台的高为，则圆台的侧面积为________． 解析　首先计算母线长，再计算圆台侧面积． 圆台的母线长l＝＝3. 根据侧面积公式可知S＝π×3＝18π. 答案　18π 6．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________． 解析　S圆柱＝2·π2＋2π··a＝πa2， S圆锥＝π2＋π··a＝πa2， ∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1. 答案　2∶1 7．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是________． 解析　设圆柱底面半径为r，则高为2πr， 表面积∶侧面积＝[(2πr)2＋2πr2]∶(2πr)2＝. 答案　 8．(1)已知圆锥的底面半径为2，高为5，求这个圆锥的体积； (2)已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为3，求这个圆台的体积． 解析　(1)由题意V锥体＝Sh＝πr2·h＝. (2)由已知有S上＝π·12＝π， S下＝π·22＝4π， 所以V台体＝(S上＋S下＋)h ＝(π＋4π＋2π)×3＝7π. [关键能力·综合提升] 9．碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人或动物推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人或动物推动木柄绕圆盘转动一周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3 解析　由题意结合圆的周长公式，得到它们的半径之比，从而求得答案． 设碌碡的底面圆的半径为r，其高为h，由已知可得圆盘的半径h， 由已知可得6πr＝2πh，∴h＝3r 即碌碡的底面圆的半径与其高之比为1∶3，故选B. 答案　B 10.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(　　) A．5π　 B．6π　　 C．20π　 D．10π 解析　用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. 答案　D 11．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸． (注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) 解析　圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为＝3(寸)． 答案　3 12.如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________． 解析　设圆台的上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r. 由母线长为10可知10＝＝5r， ∴r＝2. 故圆台的上、下底半径和高分别为2,8,8. 所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π. 答案　100π 13.如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中有一个高为的内接圆柱，求圆柱的表面积． 解析　设圆柱的底面半径为r， 高为h′＝，圆锥的高为h， 则＝＝＝，所以r＝1， 所以圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh′＝2π(12＋1×)＝2(＋1)π. [学科素养·探索创新] 14．(2024·全国甲卷·文)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2(r2－r1)，3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为________． 解析　两圆台的上、下底面积对应相等，则两圆台的体积之比为高之比，根据母线与半径的关系可得甲与乙的体积之比为＝＝. 答案　 15．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱． (1)求圆锥的侧面积； (2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值． 解析　(1)圆锥的母线长为＝2(cm)， ∴圆锥的侧面积S1＝π×2×2＝4 π(cm2)． (2)画出圆锥的轴截面如图所示： 设圆柱的底面半径为r cm， 由题意，知＝， ∴r＝， ∴圆柱的侧面积S2＝2πrx＝(－x2＋6x) ＝－[(x－3)2－9]， ∴当x＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6π cm2. 学科网（北京）股份有限公司 $$