6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第六章　平面向量及其应用 6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 导学1 数乘运算的坐标表示 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 (λx1，λy1) 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 导学2 平面向量共线的坐标表示 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 x1y2－x2y1＝0 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 学业标准 素养目标 1.掌握数乘向量的坐标运算法则． 2．理解用坐标表示两向量共线的充要条件．(重点) 3．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法．(难点) 1.通过数乘向量的坐标运算，培养数学运算等核心素养． 2．根据两向量共线的坐标表示，提升逻辑推理和数学运算等核心素养. 设a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.试求3a和2a－b. [提示]　3a＝3(x1i＋y1j)＝3x1i＋3y1j， 2a－b＝(2x1－x2)i＋(2y1－y2)j. 3a与2a－b的坐标分别是什么？ [提示]　(3x1,3y1)，(2x1－x2,2y1－y2)． ◎结论形成 (1)符号表示：已知a＝(x1，y1)，则λa＝λ(x1，y1)＝________________. (2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. [提示]　共线． 已知下列几组向量： ①a＝(0,2)，b＝(0,4)；②a＝(2,3)，b＝(4,6)； ③a＝(－1,4)，b＝(2，－8)；④a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1)). 上面几组向量中，a与b有什么关系？ [提示]　①②中b＝2a；③中b＝－2a；④中b＝－a. 以上几组向量中，a，b共线吗？ ◎结论形成 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果用坐标表示，向量a，b共线的充要条件是__________________. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则eq \f(x1,y1)＝eq \f(x2,y2).(　　) (2)若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.(　　) (3)若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (b≠0)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b.(　　) (4)向量a＝(1,2)与向量b＝(4,8)共线．(　　) 答案　(1) ×　(2)×　(3)√　(4) √ 2．下列各对向量中，共线的是(　　) A．a＝(2,3)，b＝(3，－2) B．a＝(2,3)，b＝(4，－6) C．a＝(eq \r(2)，－1)，b＝(1，eq \r(2)) D．a＝(1，eq \r(2))，b＝(eq \r(2)，2) 答案　D 3．已知a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝(　　) A．－9　　　　　　　 B．9 C．3 D．－3 答案　B 4．已知P(2,6)，Q(－4,0)，则PQ的中点坐标为_______． 解析　根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(－1,3)． 答案　(－1,3) eq \x(题型一　平面向量数乘运算的坐标表示) (1)已知向量eq \o(OA,\s\up17(→))＝(3，－2)，eq \o(OB,\s\up17(→))＝(－5，－1)，则向量eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up17(→))的坐标是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2)))　　　　　　　 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(1,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2))) D．(8,1) (2)若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8，10)，求eq \o(AB,\s\up17(→))＋2eq \o(BC,\s\up17(→))，eq \o(BC,\s\up17(→))－eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up17(→))的坐标． (1)[解析]　eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up17(→))－eq \o(OA,\s\up17(→))) ＝eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－5，－1－3，－2)) ＝eq \f(1,2)(－8,1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2)))，∴eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2))). [答案]　A (2)[解析]　∵eq \o(AB,\s\up17(→))＝(－2,10)，eq \o(BC,\s\up17(→))＝(－8,4)，eq \o(AC,\s\up17(→))＝(－10,14)， ∴eq \o(AB,\s\up17(→))＋2eq \o(BC,\s\up17(→))＝(－2,10)＋2(－8,4) ＝(－2,10)＋(－16,8) ＝(－18,18)． eq \o(BC,\s\up17(→))－eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up17(→))＝(－8,4)－eq \f(1,2)(－10,14) ＝(－8,4)－(－5,7) ＝(－3，－3)． 数量积坐标运算的两个途径：一个是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．　 [触类旁通] 1．已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)eq \f(1,2)a－eq \f(1,3)b. 解析　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)eq \f(1,2)a－eq \f(1,3)b＝eq \f(1,2)(－1,2)－eq \f(1,3)(2,1) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)，\f(2,3))). eq \x(题型二　向量共线的判定) (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ＝(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C．1 D．2 (2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，判断eq \o(AB,\s\up17(→))与eq \o(CD,\s\up17(→))是否共线．如果共线，它们的方向是相同还是相反？ (1)[答案]　A (2)[解析]　eq \o(AB,\s\up17(→))＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)， eq \o(CD,\s\up17(→))＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)， ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴eq \o(AB,\s\up17(→))，eq \o(CD,\s\up17(→))共线． 又∵eq \o(CD,\s\up17(→))＝－2eq \o(AB,\s\up17(→))，∴eq \o(AB,\s\up17(→))，eq \o(CD,\s\up17(→))方向相反． 综上，eq \o(AB,\s\up17(→))与eq \o(CD,\s\up17(→))共线且方向相反． 向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．　 [触类旁通] 2．(2024·全国甲卷·理)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则(　　) A．x＝－3是a⊥b的必要条件 B．x＝－3是a∥b的必要条件 C．x＝0是a⊥b的充分条件 D．x＝－1＋eq \r(3)是a∥b的充分条件 解析　a⊥b⇔x2＋x＋2x＝0⇔x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确．a∥b⇔2x＋2＝x2⇔x2－2x－2＝0⇔x＝1±eq \r(3)，故B，D错误． 答案　C 一题多变)eq \x(题型三　向量共线的综合应用　) 已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且|eq \o(AP,\s\up17(→))|＝2|eq \o(PB,\s\up17(→))|，求点P的坐标． [解析]　设P点坐标为(x，y)，|eq \o(AP,\s\up17(→))|＝2|eq \o(PB,\s\up17(→))|. 当P在线段AB上时，eq \o(AP,\s\up17(→))＝2eq \o(PB,\s\up17(→))， ∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3＝－2－2x，,y＋4＝4－2y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)，,y＝0，)) ∴P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0)). 当P在线段AB延长线上时，eq \o(AP,\s\up17(→))＝－2eq \o(PB,\s\up17(→))， ∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3＝2＋2x，,y＋4＝－4＋2y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝8，)) ∴P点坐标为(－5,8)． 综上所述，点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))或(－5,8)． [母题变式] 若将例3条件“|eq \o(AP,\s\up17(→))|＝2|eq \o(PB,\s\up17(→))|”改为“eq \o(AP,\s\up17(→))＝3eq \o(PB,\s\up17(→))”，其他条件不变，求点P的坐标． 解析　因为eq \o(AP,\s\up17(→))＝3eq \o(PB,\s\up17(→))， 所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x,2－y)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3＝－3－3x，,y＋4＝6－3y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝\f(1,2)，)) 所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))). [素养聚焦]　通过共线向量定理的综合应用，把数学运算和逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论．　 [触类旁通] 3．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且eq \f(CG,GD)＝2，求点G的坐标． 解析　∵D是AB的中点， ∴点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))， ∵eq \f(CG,GD)＝2，∴eq \o(CG,\s\up17(→))＝2eq \o(GD,\s\up17(→))，设G点分别为(x，y)， 利用向量的坐标运算公式可得 x＝eq \f(x3＋2×\f(x1＋x2,2),1＋2)＝eq \f(x1＋x2＋x3,3)， y＝eq \f(y3＋2×\f(y1＋y2,2),1＋2)＝eq \f(y1＋y2＋y3,3)， 即点G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))). 知识落实 技法强化 (1)平面向量数乘运算的坐标表示及简单应用． (2)两个向量共线的坐标表示． (3)有向线段的定比分点坐标公式. 两个向量共线的坐标表示的公式易记错. $$