6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示&6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第六章　平面向量及其应用 6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 导学1 平面向量的正交分解及坐标表示 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 单位向量 a＝(x，y) (1,0) (0,1) (0,0) 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 导学2 平面向量加、减运算的坐标表示 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 学业标准 素养目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．(难点) 2．掌握两个向量的和、差的坐标运算法则．(重点) 1.借助向量的正交分解的学习，培养数学抽象和直观想象等核心素养． 2．通过向量的和、差的坐标运算，提升数学运算等核心素养. 在平面内，规定{e1，e2}为基底，那么一个向量对e1，e2的分解是唯一的吗？ [提示]　唯一． 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一向量eq \o(OA,\s\up17(→)).根据平面向量基本定理，eq \o(OA,\s\up17(→))＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？ [提示]　相同． 如果向量eq \o(OA,\s\up17(→))也用(x，y)表示，那么这种向量eq \o(OA,\s\up17(→))与实数对(x，y)之间是否一一对应？ [提示]　一一对应． ◎结论形成 1．在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个__________分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作___________． 2．在平面直角坐标系中，i＝__________，j＝__________，0＝__________. [提示]　a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， 所以a－b的坐标为(x1－x2，y1－y2)． 设a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. a，b的坐标分别是什么？ [提示]　(x1，y1)，(x2，y2)． 试求a－b的坐标． ◎结论形成 文字 符号 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝_______________________ 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝_______________________ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)零向量的坐标是(0,0)．(　　) (2)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　) (3)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　) (4)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4) × 2．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a＝(　　) A．(－2,1)　　　　　　 B．(2，－1) C．(2,0) D．(4,3) 答案　B 3．已知点A(1，－3)，eq \o(AB,\s\up17(→))的坐标为(3,7)，则点B的坐标为(　　) A．(4,4) B．(－2,4) C．(2,10) D．(－2，－10) 解析　设点B的坐标为(x，y)，由eq \o(AB,\s\up17(→))＝(3,7)＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)＝(3,7)，得B(4，4)． 答案　A 4．如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，以{i，j}作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为_______． 解析　由题意知a＝2cos 45°i＋2sin 45°j＝eq \r(2)i＋eq \r(2)j， 所以a的坐标为(eq \r(2)，eq \r(2))． 答案　(eq \r(2)，eq \r(2)) eq \x(题型一　平面向量的坐标表示) 如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标以及向量eq \o(AB,\s\up17(→))与eq \o(AD,\s\up17(→))的坐标． [解析]　由题意及题图知B，D分别是30°角、120°角的终边与单位圆的交点． 设Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2))， 由三角函数的定义，得x1＝cos 30°＝eq \f(\r(3),2)，y1＝sin 30°＝eq \f(1,2)，x2＝cos 120°＝－eq \f(1,2)，y2＝sin 120°＝eq \f(\r(3),2)， ∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))， 又Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0))，∴eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq \o(AD,\s\up17(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))). 求点、向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标． (2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的起点、终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标．　 [触类旁通] 1．如图，与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，取{i，j}作为基底，分别用i，j表示eq \o(OA,\s\up17(→))，eq \o(OB,\s\up17(→))，eq \o(AB,\s\up17(→))，并求出它们的坐标． 解析　由图形可知，eq \o(OA,\s\up17(→))＝6i＋2j，eq \o(OB,\s\up17(→))＝2i＋4j，eq \o(AB,\s\up17(→))＝－4i＋2j，它们的坐标表示为eq \o(OA,\s\up17(→))＝(6,2)，eq \o(OB,\s\up17(→))＝(2,4)，eq \o(AB,\s\up17(→))＝(－4,2)． eq \x(题型二　平面向量的坐标运算) 已知点A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设eq \o(AB,\s\up17(→))＝a，eq \o(BC,\s\up17(→))＝b，eq \o(CA,\s\up17(→))＝c，且eq \o(CM,\s\up17(→))＝c，eq \o(CN,\s\up17(→))＝b. (1)求a＋b－c； (2)求点M，N的坐标及向量eq \o(MN,\s\up17(→))的坐标． [解析]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)a＋b－c＝(5，－5)＋(－6，－3)－(1,8) ＝(－2，－16)． (2)设O为坐标原点． ∵eq \o(CM,\s\up17(→))＝eq \o(OM,\s\up17(→))－eq \o(OC,\s\up17(→))＝c， ∴eq \o(OM,\s\up17(→))＝c＋eq \o(OC,\s\up17(→))＝(1,8)＋(－3，－4)＝(－2,4)， ∴M(－2,4)． 又∵eq \o(CN,\s\up17(→))＝eq \o(ON,\s\up17(→))－eq \o(OC,\s\up17(→))＝b， ∴eq \o(ON,\s\up17(→))＝b＋eq \o(OC,\s\up17(→))＝(－6，－3)＋(－3，－4)＝(－9，－7)， ∴N(－9，－7)， ∴eq \o(MN,\s\up17(→))＝eq \o(ON,\s\up17(→))－eq \o(OM,\s\up17(→))＝(－9，－7)－(－2,4)＝(－7，－11)． 平面向量坐标的线性运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．　 [触类旁通] 2．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))，eq \o(BC,\s\up17(→))－eq \o(AC,\s\up17(→))的坐标． 解析　∵eq \o(AB,\s\up17(→))＝(－2,10)，eq \o(BC,\s\up17(→))＝(－8,4)， eq \o(AC,\s\up17(→))＝(－10,14)， ∴eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＝(－2,10)＋(－8,4)＝(－10,14)， eq \o(BC,\s\up17(→))－eq \o(AC,\s\up17(→))＝(－8,4)－(－10,14)＝(2，－10)． eq \x(题型三　平面向量坐标运算的应用) 已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且eq \o(BC,\s\up17(→))＝eq \o(AD,\s\up17(→))，则顶点D的坐标为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)))　　　　　　　 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2))) C．(4,5) D．(1,3) [解析]　设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝(m，n－2)，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝5，))即点D(4,5)，故选C. [答案]　C [素养聚焦]　通过向量坐标运算的应用，把直观想象和数学运算等核心素养体现在解题过程中． 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等． (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．　 [触类旁通] 3．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2,1)，B(1,3)，则点C的坐标为_______． 解析　设C的坐标为(x，y)，则由已知得eq \o(OC,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))，所以(x，y)＝(－1,2)． 答案　(－1,2) 知识落实 技法强化 (1)平面向量的正交分解及坐标表示． (2)平面向量加、减运算的坐标表示. 已知A，B两点求eq \o(AB,\s\up17(→))的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标. $$