7.2.2 复数的乘、除运算(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．复数(1＋i)2(2＋3i)＝(　　) A．6－4i　　　　　　 B．－6－4i C．6＋4i D．－6＋4i 解析　(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 答案　D 2．(2024·北京卷)若复数z满足＝－1－i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 解析　由题意得，z＝i(－1－i)＝1－i. 答案　C 3．若z＋＝6，z＝10，则z等于(　　) A．1±3i B．3±i C．3＋i D．3－i 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi， 由题意得解得或 ∴z＝3±i. 答案　B 4．(多选题)已知复数z(z≠0)，是z的共轭复数，则下列结论正确的是(　　) A．若z＝，则z∈R B．若|z|＝1，则z·＝1 C．若∈R，则z∈R D．若z2＋2＝0，则z＝0 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)， 若z＝，即a＋bi＝a－bi，所以b＝－b＝0，z＝a∈R，A正确； 若|z|＝1，则a2＋b2＝1，所以z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝1，B正确； 若z＝2i，则＝＝－1∈R，C错误； 若z＝1＋i，则z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0，D错误．故选A，B. 答案　AB 5．设复数z＝1＋i，则z2－2z＝________. 解析　∵z＝1＋i， ∴z2－2z＝z(z－2)＝(1＋i)(1＋i－2) ＝(1＋i)(－1＋i)＝－3. 答案　－3 6．已知＝－i，则复数z＝________. 解析　因为＝－i， 所以z＝＝(2－3i)i＝3＋2i. 答案　3＋2i 7．在复数范围内方程2x2＋3x＋4＝0的解为____________． 解析　因为Δ＝b2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－23<0， 所以方程2x2＋3x＋4＝0的根为x＝＝. 答案　 8．计算． (1)；(2)； (3)6＋. 解析　(1)＝＝－1－3i. (2) ＝＝ ＝＝＋i. (3)6＋ ＝6＋ ＝i6＋i＝－1＋i. [关键能力·综合提升] 9．已知z＝1－2i，且z＋a ＋b＝0，其中a，b为实数，则(　　) A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2 C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2 解析　由题设，z＝1－2i，＝1＋2i，所以a＋b＋1＋(2a－2)i＝0，故a＝1，b＝－2，选择A. 答案　A 10．(多选题)已知z＝a＋bi(a，b∈R)为复数，是z的共轭复数，则下列命题一定正确的是(　　) A．z·＝|z|2 B．若∈R，则z∈R C．若z2为纯虚数，则a＝b≠0 D．若|z－i|＝1，则|z|的最大值为2 解析　根据共轭复数的定义、复数的运算、复数的定义和复数模的三角不等式计算求解后判断各选项． 对于A，z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝|z|2，所以A正确； 对于B，＝＝＝－i， 因为∈R，所以b＝0，从而z∈R，所以B正确； 对于C，z2＝(a＋bi)2＝＋2abi为纯虚数，所以即a＝±b≠0，所以C错误； 对于D，由复数模的三角不等式可得|z|＝|(z－i)＋i|≤|z－i|＋|i|＝2，所以D正确．故选A，B，D. 答案　ABD 11．写出一个虚数z，使z2的实部为0，则z＝________. 解析　设复数z＝a＋bi，，则z2＝a2－b2＋2abi，使z2的实部为0，得a＝±b，即可得解． 设复数z＝a＋bi，，则z2＝a2－b2＋2abi， 因为z2的实部为0，所以a2－b2＝0，即a＝±b， 所以答案可为1－i或1＋i. 答案　1－i或1＋i(答案不唯一，凡符合a＋ai或a－ai(a∈R且a≠0)形式的均正确) 12．在复数范围内，把多项式x2＋1分解为一次因式的积：x2＋1＝________. 解析　x2＋1＝x2－i2＝(x－i)(x＋i)． 答案　(x－i)(x＋i) 13．已知复数z＝1＋i，求实数a，b，使az＋2b＝(a＋2z)2. 解析　因为z＝1＋i，所以az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.因为a，b都是实数，所以由az＋2b＝(a＋2z)2，得 解得a＝－2或a＝－4，对应得b＝－1或b＝2，所以所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2. [学科素养·探索创新] 14．据记载，欧拉公式eix＝cos x＋isin x(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当x＝π时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数(自然对数的底数e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和零元0)联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”．根据欧拉公式，若复数z＝ei的共轭复数为，则2等于(　　) A．i B．－＋i C．1＋i D.－i 解析　欧拉公式eix＝cos x＋isin x(x∈R)， 则z＝ei＝cos ＋isin ＝－＋i， 根据共轭复数定义可知＝－－i. 2＝2＝i. 答案　A 15．复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值． 解析　z＝(a＋bi) ＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi. 由|z|＝4，得a2＋b2＝4，① ∵复数0，z，对应的点构成正三角形， ∴|z－|＝|z|. 把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.② 又∵z对应的点在第一象限，∴a＜0，b＜0. 由①②得 故所求值为a＝－，b＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$