7.1.1 数系的扩充和复数的概念(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，则a＝(　　) A．2　　　　　　　　　 B．3 C．－3 D．9 解析　因为z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，且z1＝z2，所以有解得a＝3.故选B. 答案　B 2．设a，b∈R，则“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　因为a，b∈R，当“a＝0”时，“复数a＋bi是纯虚数”不一定成立，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R. 而当“复数a＋bi是纯虚数”时，“a＝0”一定成立． 所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件． 答案　B 3．若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 025i＝2－bi，则a2＋bi＝(　　) A．2 025＋2i B．2 025＋4i C．2＋2 025i D．4－2 025i 解析　因为a＋2 025i＝2－bi，所以a＝2，－b＝2 025，即a＝2，b＝－2 025，所以a2＋bi＝4－2 025i. 答案　D 4．(多选题)下列命题错误的是(　　) A．若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1 B．纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集 C．若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3不一定成立 D．若实数a与ai对应，则实数集与复数集一一对应 解析　对于A，取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故A错误；B错误；对于C，取z1＝1＋2i，z2＝1＋i，z3＝i，则z1≠z2≠z3，C正确；对于D，a＝0时，ai＝0，D错误． 答案　ABD 5．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a＝________. 解析　由条件知a2－3＋2a＝0，解得a＝1或a＝－3. 答案　1或－3 6．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，则实数m＝________. 解析　由题意得解得m＝2. 答案　2 7．若实数x，y满足x＋y＋(x－y)i＝2，则xy＝________. 解析　由题意得解得 所以xy＝1. 答案　1 8．分别求满足下列条件的实数x，y的值． (1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i； (2)＋(x2－2x－3)i＝0. 解析　(1)∵x，y∈R， ∴由复数相等的定义得 解得 (2)∵x∈R， ∴由复数相等的定义得 即∴x＝3. [关键能力·综合提升] 9．i2 024的虚部为(　　) A．0 B．－1 C．i D．－i 解析　直接利用i4＝1，化简i2 024，再得到其虚部． 因为i2 024＝(i4)506＝1， ∴i2 024的虚部为0.故选A. 答案　A 10．(多选题)在复数范围内，下列四个命题是真命题的为(　　) A．1＋i2＝0 B．若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i C．若x2＋y2＝0，则x＝y＝0 D．两个虚数不能比较大小 解析　对于A，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0，故A为真命题；对于C，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0，故C为假命题；按照复数的定义，两个虚数不能比较大小，故B为假命题，D为真命题． 答案　AD 11．已知z1＝(－4a＋1)＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R.若z1＞z2，则a的取值集合为________． 解析　∵z1＞z2，∴ ∴a＝0，故所求a的取值集合为{0}． 答案　{0} 12．若复数z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m－2＋(m2－5m)i，m为实数，且z1>z2，则实数m的取值集合为________． 解析　∵z1>z2， ∴解得m＝0， ∴实数m的取值集合为{0}． 答案　{0} 13．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)． (1)若z1为纯虚数，求实数m的值； (2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围． 解析　(1)∵z1为纯虚数， 则解得m＝－2. (2)由z1＝z2，得 ∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3 ＝(sin θ－1)2＋2. ∵－1≤sin θ≤1， ∴当sin θ＝1时，λmin＝2， 当sin θ＝－1时，λmax＝6， ∴实数λ的取值范围是[2,6]． [学科素养·探索创新] 14．若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan 的值为(　　) A．7 B．－ C．－7 D．－7或－ 解析　∵复数z＝＋i是纯虚数， ∴cos θ－＝0，sin θ－≠0， 又cos 2 θ＋sin2 θ＝1， ∴cos θ＝，sin θ＝－，∴tan θ＝－， ∴tan ＝＝＝－7. 答案　C 15．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值． 解析　由定义运算＝ad－bc， 得＝3x＋2y＋yi， 故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi. 因为x，y为实数，所以有 得得x＝－1，y＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$