6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(　　) A．东偏北45°10′方向上 B．北偏东45°50′方向上 C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南45°50′方向上 解析　如图所示，点Q在点P的南偏西44°50′的方向上． 答案　C 2．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　) A．10 n mile　　　　　 B. n mile C．5 n mile D．5 n mile 解析　如图，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10 (n mile)， 由正弦定理，得＝， ∴BC＝5(n mile)，故选D. 答案　D 3．如图，D，C，B三点在地面同一水平线上，DC＝100 m，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB＝(　　) A．50 m B．100 m C．50 m D．100 m 解析　因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°， 所以△ADC为等腰三角形，所以AC＝DC＝100 (m)， 在Rt△ABC中，AB＝ACsin 60°＝50(m)． 答案　A 4．一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是(　　) A．5 海里/时 B．5海里/时 C．10海里/时 D．10海里/时 解析　如图， 依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，由正弦定理，可得AB＝5(海里)，所以这艘船的速度是10海里/时． 答案　D 5.如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D的俯角为β＝60°，已知甲楼高AB＝24 m，则乙楼高CD＝________ m. 解析　过A作AE⊥CD(图略)， 垂足为E，ED＝AB＝24 (m)， 则AE＝＝＝8(m)． 在Rt△ACE中，CE＝AE·tan 30°＝8×＝8(m)， ∴CD＝CE＋ED＝8＋24＝32(m)． 答案　32 6．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为________ m. 解析　∠ACB＝180°－45°－75°＝60°， 在△ABC中，＝. ∴BC＝120·＝ (m)， 河宽为BCsin∠CBA＝sin 75° ＝20(＋3)(m). 答案　20(＋3) 7．一艘船以每小时15 km的速度向正东方向航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向上，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向上，这时船与灯塔间的距离为________ km. 解析　如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°， 则∠ABC＝45°， AC＝15×4＝60(km)，根据正弦定理，得 BC＝＝＝30(km)． 答案　30 8.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值． 解析　如题图所示，在△ABC中， AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°， 由余弦定理知， BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800 ⇒BC＝20 (n mile)． 由正弦定理，得＝⇒ sin∠ACB＝·sin∠BAC＝. 由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角， 则cos∠ACB＝. 由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°) ＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果距离出发点恰好 km，则x的值为(　　) A. B．2 C．2 D．3 解析　如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°， 由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC， 即()2＝x2＋32－6xcos 30°， ∴x2－3x＋6＝0. 解得x＝2或x＝. 答案　AB 10．榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A和B，现测得∠OBA＝105°，∠OAB＝45°，AB＝45 m，在点B处测得塔顶T的仰角为30°，则塔高OT为(　　) A．15 m B. m C．45 m D. m 解析　先在△AOB中利用正弦定理求OB＝45，再在△BOT中求OT＝OBtan 30°即可． 依题意，在△AOB中，∠AOB＝30°， ∴＝，即＝， 解得OB＝45. 在△BOT中，＝tan∠OBT＝tan 30°，即 OT＝OBtan 30°＝45×＝15 m．故选A. 答案　A 11．某人从A处出发，沿北偏东60°方向行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为________ km. 解析　如图所示，由题意可知 AB＝3 (km)，BC＝2 (km), ∠ABC＝150°. 由余弦定理，得 AC2＝27＋4－2×3×2×cos 150°＝49，AC＝7 (km)．则A，C两地距离为7 km. 答案　7 12．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔的距离为________km. 解析　由题意知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，AC＝2 (km)，AB＝3 (km)，设B船到灯塔的距离为x，即BC＝x.由余弦定理可知AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，即9＝4＋x2－2×2x×，整理得x2＋2x－5＝0，解得x＝－1－(舍去)或x＝－1＋. 答案　－1 13.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4 m后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°. (1)求BC的长； (2)若小明身高为1.70 m，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01 m，其中≈1.732)． 解析　(1)在△ABC中，∠CAB＝45°，∠DBC＝75°， 则∠ACB＝75°－45°＝30°，AB＝4 (m)， 由正弦定理，得＝， 解得BC＝4(m)，即BC的长为4 m. (2)在△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝4(m)， 所以DC＝4sin 75°(m)． 因为sin 75°＝sin(45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝， 则DC＝(2＋2) (m)． 所以CE＝ED＋DC＝1.70＋2＋2≈3.70＋3.464≈7.16(m)． 即这棵桃树顶端点C离地面的高度为7.16 m. [学科素养·探索创新] 14．在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20 km，C，D两市相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km，则震中A到B，C，D三市的距离分别为________． 解析　由题意得，在△ABC中， AB－AC＝1.5×8＝12(km)． 在△ACD中，AD－AC＝1.5×20＝30(km)． 设AC＝x km， 则AB＝(12＋x) km，AD＝(30＋x) km. 在△ABC中，cos ∠ACB＝ ＝＝， 在△ACD中，cos ∠ACD＝ ＝＝. ∵B，C，D在一条直线上， ∴＝－， 即＝， 解得x＝，即AC＝(km)． ∴AB＝ (km)，AD＝ (km)． 答案　 km， km， km 15．高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西 km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？ 解析　如图所示，考点为A，检查开始处为B， 设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，即公路上C，D两点到考点的距离为1 km. 在△ABC中，AB＝(km)，AC＝1(km)， ∠ABC＝30°， 由正弦定理，得sin∠ACB＝×AB＝， ∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)， ∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1(km)． 在△ACD中，AC＝AD＝1(km)，∠ACD＝60°， ∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1(km)． ∵×60＝5， ∴在BC上需5 min，CD上需5 min. ∴最长需要5 min检查员开始收不到信号，并持续至少5 min才算合格． 学科网（北京）股份有限公司 $$