6.4.3 第2课时 正弦定理(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　) A．4　　　　　　　 B．2 C. D. 解析　由正弦定理，得＝， 即＝， 所以AC＝×＝2，故选B. 答案　B 2．在△ABC，a＝15，b＝10，A＝45°，则cos B＝(　　) A．±　　　 B.　　　 C.　　 D．－ 解析　在△ABC中，由正弦定理得＝，代入数据得sin B＝， 因为a>b，所以A>B，所以0°<B<45°，所以cos B>0，所以cos B＝＝.故选C. 答案　C 3．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析　由题意及正弦定理可知，＝， 则sin B＝1， 又B∈(0，π)，故B为直角，△ABC是直角三角形． 答案　B 4．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则(　　) A．B＝45°或135° B．B＝135° C．B＝45° D．以上答案都不对 解析　sin B＝，∵a＞b，∴B＝45°. 答案　C 5．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C，则△ABC是________三角形． 解析　由已知得sin2A－sin2B＝sin2C， 根据正弦定理知sin A＝，sin B＝， sin C＝， 所以2－2＝2， 即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2. 所以△ABC是直角三角形． 答案　直角 6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________. 解析　由正弦定理得sin Bsin A＋sin Acos B＝0. ∵A∈(0，π)，B∈(0，π)， ∴sin A≠0，得sin B＋cos B＝0， 即tan B＝－1，∴B＝. 答案　 7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则sin B＝______，b＝________. 解析　在△ABC中，由cos A＝，cos C＝， 可得sin A＝，sin C＝， 所以sin B＝sin (A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝， 又a＝1，故由正弦定理得，b＝＝. 答案　　 8．不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝7，b＝14，A＝150°； (3)a＝9，b＝10，A＝60°. 解析　(1)sin B＝＝×＜， 所以△ABC有一解． (2)sin B＝＝1，所以△ABC无解． (3)sin B＝＝×＝，而＜＜1， 所以当B为锐角时，满足sin B＝的B的取值范围为60°＜B＜90°； 当B为钝角时有90°＜B＜120°，也满足A＋B＜180°， 所以△ABC有两解． [关键能力·综合提升] 9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析　由asin A－bsin B＝4csin C可得a2－b2＝4c2，又cos A＝＝－，所以2(b2＋c2－a2)＝－bc，又a2－b2＝4c2，所以6c2＝bc，即＝6，故选A. 答案　A 10．(多选题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是(　　) A．a2＝b2＋c2－2bccos A B．asin B＝bsin A C．a＝bcos C＋ccos B D．acos B＋bcos C＝c 解析　对于A，根据余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bccos A，故A正确； 对于B，根据正弦定理边角互化， 可得asin B＝bsin A⇔ab＝ab，故B正确； 对于C，根据正弦定理，得a＝bcos C＋ccos B ⇒sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin (B＋C)＝sin A，故C正确； 对于D, 根据正弦定理的边角互化可得， sin Acos B＋sin Bcos C＝sin C＝sin (A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B， 即sin Bcos C＝cos Asin B， 又sin B≠0，所以cos C＝cos A，当A＝C时，等式才能成立，故D不正确． 答案　ABC 11．在△ABC中，若a＝2bsin A，则B＝________. 解析　由正弦定理得sin A＝2sin B·sin A， ∵sin A≠0，∴sin B＝. 又0<B<180°，∴B＝60°或120°. 答案　60°或120° 12．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________. 解析　∵△ABC的外接圆直径为2R＝2， ∴＝＝＝2R＝2， ∴＋＋＝2＋1＋4＝7. 答案　7 13．(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. (1)求A； (2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长． 解析　(1)解法一(辅助角法) 由sin A＋cos A＝2，得sin A＋cos A＝1， 所以sin＝1. 因为0<A<π，所以<A＋<， 所以A＋＝，故A＝. 解法二(同角三角函数的基本关系法) 由sin A＋cos A＝2，得cos A＝2－sin A， 两边同时平方，得3cos2A＝4－4sin A＋sin2A， 则3(1－sin2A)＝4－4sin A＋sin2A， 整理，得1－4sin A＋4sin2A＝0， 所以(1－2sin A)2＝0，则sin A＝. 因为0<A<π，所以A＝或A＝. 当A＝时，sin A＋cos A＝2成立，符合条件； 当A＝时，sin A＋cos A＝2不成立，不符合条件． 故A＝. (2)由bsin C＝csin 2B，得bsin C＝2csin Bcos B， 由正弦定理，得bc＝2cbcos B， 所以cos B＝， 因为0<B<π，所以B＝. C＝π－(A＋B)＝， 所以sin C＝sin ＝sin＝sin cos ＋cos sin ＝×＋×＝. 由正弦定理＝＝，得b＝＝＝2， c＝＝＝＋. 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋＋3. [学科素养·探索创新] 14．(2024·全国甲卷·理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　) A. B. C. D. 解析　由正弦定理得sin Asin C＝sin2B，因为B＝，所以sin Asin C＝sin2B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，所以sin2A＋sin2C＝sin Asin C，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin Asin C＝，又sin A>0，sin C>0，所以sin A＋sin C＝. 答案　C 15．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2bsin A，求cos A＋sin C的取值范围． 解析　在锐角△ABC中，根据正弦定理，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，其中R为外接圆半径． ∵a＝2bsin A，∴2Rsin A＝4Rsin Bsin A， ∴sin B＝. ∵B为锐角，∴B＝. 令y＝cos A＋sin C＝cos A＋sin[π－(B＋A)] ＝cos A＋sin ＝cos A＋sin cos A＋cos sin A ＝cos A＋sin A＝ ＝sin. 由锐角△ABC知，－B＜A＜， ∴＜A＜. ∴＜A＋＜， ∴＜sin＜， ∴＜sin＜，即＜y＜. ∴cos A＋sin C的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$