6.4.3 第1课时 余弦定理(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝(　　) A．30°　　　　　　　 B．45° C．60° D．90° 解析　∵a＝，b＝3，c＝2， ∴由余弦定理，得 cos A＝＝＝， 又由A∈(0°，180°)，得A＝60°，故选C. 答案　C 2．在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B＝(　　) A．1 B. C．2 D．4 解析　bcos C＋ccos B ＝b·＋c·＝＝a＝2. 答案　C 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，当a2＋b2<c2时，△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 解析　cos C＝<0，则C是钝角， 所以△ABC是钝角三角形． 答案　C 4．(多选题)在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析　由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8. 答案　BD 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝2，则b＝________. 解析　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B ＝4＋12－2×2×2×＝4，所以b＝2. 答案　2 6．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C＝________. 解析　由p∥q，得(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0， 即a2＋b2－c2＝ab，故cos C＝＝， 又C∈(0，π)，∴C＝. 答案　 7．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝________，AC边上的高为________． 解析　由余弦定理的推论，可得 cos A＝＝＝， 又0<A<π，∴A＝， ∴sin A＝. 则AC边上的高为h＝ABsin A＝3×＝. 答案　　 8．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0. (1)求角A的大小； (2)若a＝2，b＝2，求c的值． 解析　(1)因为cos A＝2cos2－1,2cos2＋cos A＝0， 所以2cos A＋1＝0，所以cos A＝－，又A∈(0°，180°)，所以A＝120°. (2)由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A. 又a＝2，b＝2，cos A＝－， 所以(2)2＝22＋c2－2×2×c×， 化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去)． 故c＝2. [关键能力·综合提升] 9．在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1 B. C. D．3 解析　利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长． 设AB＝c，AC＝b，BC＝a， 结合余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B可得 19＝a2＋4－2×a×2×cos 120°， 即a2＋2a－15＝0，解得a＝3(a＝－5舍去)， 故BC＝3.故选D. 答案　D 10．(多选题)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下结论，其中正确的有(　　) A．sin (B＋C)＝sin A B．cos (B＋C)＝cos A C．若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形 D．若a2＋b2<c2，则△ABC为锐角三角形 解析　依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin (B＋C)＝sin (π－A)＝sin A，A正确； cos (B＋C)＝cos (π－A)＝－cos A，B不正确； 因为a2＋b2＝c2，则由余弦定理的推论得cos C＝＝0，而0<C<π，即有C＝，则△ABC为直角三角形，C正确； 因为a2＋b2<c2，则cos C＝<0，而0<C<π，即有<C<π，则△ABC为钝角三角形，D不正确． 答案　AC 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则＝________. 解析　由题意，结合余弦定理的推论， 得＝＝， 又a2＝b2＋c2，∴a2－b2＝c2， ∴＝＝＝. 答案　 12．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________. 解析　∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴()2＝a2＋12－2a×1×cos ， ∴a2＋a－2＝0， 即(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1，或a＝－2(舍去)． ∴a＝1. 答案　1 13．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1. (1)求角C的度数； (2)求AB的长． 解析　(1)cos C＝cos[180°－(A＋B)] ＝－cos(A＋B)＝－. 又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°. (2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根， ∴ ∴AB2＝a2＋b2－2abcos 120°＝(a＋b)2－ab＝10， ∴AB＝. [学科素养·探索创新] 14．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是(　　) A．(1,7) B．(1,5) C．(，5) D．(，5) 解析　∵b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形， ∴cos A＝>0， 且cos C＝>0，∴7<a2<25， ∴<a<5. 答案　C 15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0. (1)求角B的大小； (2)若a＋c＝1，求b的取值范围． 解析　(1)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin A·cos B＝0， 即有sin Asin B－sin Acos B＝0.① 因为sin A≠0，所以sin B－ cos B＝0. 又cos B≠0， 所以tan B＝.又0<B<π，所以B＝. (2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B． 因为a＋c＝1，cos B＝， 有b2＝32＋.② 又0<a<1，于是有≤b2<1， 即有≤b<1. 学科网（北京）股份有限公司 $$