6.4.1 平面几何中的向量方法&6.4.2 向量在物理中的应用举例(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ＝(　　) A．30°　　　　　　　　 B．60° C．90° D．120° 解析　由题意作出示意图，由|F|＝|G|知△AOC，△BOC都是等边三角形， 所以θ＝120°. 答案　D 2．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 解析　由题意得，2＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝2＋·， ∴·＝0，∴⊥， ∴△ABC是直角三角形． 答案　C 3．河水的流速为5 m/s，一艘小船想沿垂直于河岸的方向以12 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为(　　) A．13 m/s B．12 m/s C．17 m/s D．15 m/s 解析　设小船的静水速度为v1， 河水的流速为v2， 静水速度与河水速度的合速度为v， 为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向， 即静水速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸， 静水速度与河水速度的合速度v指向对岸， 即静水速度|v1|＝＝＝13(m/s)． 答案　A 4．在△ABC中，AB＝AC＝2，点M满足＋2＝0，若·＝，则BC的长为(　　) A．1 B. C．2 D．3 解析　取BC的中点O，连接AO，如图所示． ∵＋2＝0，即＝2， ∴M为BC边上靠近C的三等分点， ∵AB＝AC，∴AO⊥BC， ∴·＝0， 又＝， ∴·＝·(＋)＝·＋·＝·＝||2＝， 解得||＝2，即BC＝2. 答案　C 5．已知力F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2,3)，则力F对物体所做的功是________． 解析　因为＝(－4,3)，所以W＝F·s＝F·＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1. 答案　1 6．一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m，且力F所做的功W＝250 J，则F与s的夹角等于________． 解析　设F与s的夹角为θ，由W＝F·s， 得250＝10×50cos θ，∴cos θ＝. 又θ∈[0，π]，∴θ＝. 答案　 7．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________. 解析　＝－＝(3,6)＝. 又因为·＝(4，－2)·(3,6)＝0， 所以四边形ABCD为矩形， 所以||＝＝2， ||＝＝3， 所以S＝||||＝2×3＝30. 答案　30 8.已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形． 证明　设＝a，＝b， 则＝－＝－a＝b－a， ＝－＝b－＝b－a， 所以＝，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形． [关键能力·综合提升] 9．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40 m/s，则鹰的飞行速率为(　　) A. m/s B. m/s C. m/s D. m/s 解析　设鹰的飞行速度为v1，鹰在地面上的影子的速度为v2，则|v2|＝40 (m/s)，因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下，故|v1|＝＝(m/s)，故选C. 答案　C 10．在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M形成的图形必经过△ABC的(　　) A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 解析　假设BC的中点是O，则2－2＝(＋)·(－)＝2·＝2·，即(－)·＝·＝0，所以⊥，所以动点M在线段BC的垂直平分线上，所以动点M形成的图形必经过△ABC的外心． 答案　C 11.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝________. 解析　＝＋，＝＋，且＝－，所以·＝(＋)·(＋)＝2－2＝－1＝－. 答案　－ 12．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足＝＋，则△APB的面积与△APC的面积之比为________． 解析　5＝＋2， 2－2＝－－2， －2(＋)＝，如图所示，以PA，PB为邻边作▱PAEB， 则C，P，E三点共线，连接PE交AB于点O，则＝2＝4， 所以＝＝＝. 答案　1∶2 13.如图所示，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，四边形PECF是矩形，求证： (1)PA＝EF； (2)PA⊥EF. 证明　(1)建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，||＝λ， 则A(0,1)，P， E，F， ＝， ＝. 因为||2＝2＋2＝λ2－λ＋1， ||2＝2＋2＝λ2－λ＋1， 所以||2＝||2，故PA＝EF. (2)因为·＝＋＝0， 所以⊥，故PA⊥EF. [学科素养·探索创新] 14．如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°≈0.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为________ J，重力所做的功为________ J(g＝9.8 m/s2)． 解析　物体m的位移大小为|s|＝≈(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F|·|s|cos 90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|cos 53°≈5×9.8××0.6＝98(J)． 答案　0　98 15．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC. 求：(1)AD的长； (2)∠DAC的大小． 解析　(1)设＝a，＝b， 则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. 所以||2＝2＝2＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3. 故AD＝. (2)设∠DAC＝θ，则θ为向量与的夹角． 因为cos θ＝＝ ＝＝＝0， 所以θ＝90°，即∠DAC＝90°. 学科网（北京）股份有限公司 $$