6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝(　　) A．(1，－2)　　　　　　　 B．(1,2) C．(5,6) D．(2,0) 解析　b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)． 答案　A 2．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a可以是(　　) A．(1，－2) B．(9,3) C．(－2,4) D．(－4，－8) 解析　由题意，得＝(1,2)，所以a＝λ＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D项，故选D. 答案　D 3．已知向量e1＝(x,1)，e2＝(x－2,3)共线，则x＝(　　) A．－1　　 B．0　　　 C．1　　 D．2 解析　由题意，3x－(x－2)＝0，解得x＝－1.故选A. 答案　A 4．如果向量a＝(k,1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k等于(　　) A．±2 B．－2 C．2 D．0 解析　∵a与b共线且方向相反，∴存在实数λ(λ<0)，使得b＝λa，即(4，k)＝λ(k,1)＝(λk，λ)，∴ 解得或(舍去)． 答案　B 5．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为________． 解析　设O为坐标原点，因为＝(－1，－5)，＝3a＝(6,9)，故＝＋＝(5,4)，故点B的坐标为(5,4)． 答案　(5,4) 6．已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________. 解析　由题意结合向量平行的充分必要条件可得 2×4－λ×5＝0， 解方程可得λ＝.故答案为. 答案　 7．已知A(2,4)，B(－4,6)，若＝，＝，则的坐标为________． 解析　设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 因为＝， 则(x1－2，y1－4)＝(－6,2)＝(－9,3)， ∴x1＝－7，y1＝7，即C(－7,7)． 因为＝， 则(x2＋4，y2－6)＝(6，－2)＝， ∴x2＝4，y2＝，即D， 则＝. 答案　 8．已知向量a＝(2,1)，b＝(1,1)，c＝(5,2)，m＝λb＋c(λ为常数)． (1)求a＋b； (2)若a与m平行，求实数λ的值． 解析　(1)因为a＝(2,1)，b＝(1,1)， 所以a＋b＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)． (2)因为b＝(1,1)，c＝(5,2)， 所以m＝λb＋c＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)． 又因为a＝(2,1)，且a与m平行， 所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1. [关键能力·综合提升] 9．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，且a∥b，则锐角θ＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析　由a∥b，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－＝0，即cos θ＝±，而θ是锐角，故θ＝45°. 答案　B 10．(多选题)已知λ，μ∈R，＝(λ，1)，＝(－1,1)，＝(1，μ)，那么(　　) A.＋＝(λ－1,1－μ) B．若∥，则λ＝2，μ＝ C．若A是BD的中点，则B，C两点重合 D．若点B，C，D共线，则μ＝1 解析　A选项，＋＝－＋－＝－＝(λ，1)－(1，μ)＝(λ－1,1－μ)，A选项正确； B选项，若∥，则λ·μ＝1，故也可取λ＝3，μ＝，B选项错误； C选项，若A是BD的中点，则＝－， 即(λ，1)＝(－1，－μ)⇒λ＝μ＝－1， 所以＝＝(－1,1)，所以B，C两点重合，C选项正确； D选项，由于B，C，D三点共线，所以∥， ＝－＝(－1,1)－(λ，1)＝(－1－λ，0)， ＝－＝(1，μ)－(λ，1)＝(1－λ，μ－1)， 则(－1－λ)×(μ－1)＝0×(1－λ)⇒λ＝－1或μ＝1， 所以D选项错误． 答案　AC 11．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________. 解析　由题意得，点B的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则＝(4,6)． 又与a＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，则λ＝. 答案　 12．已知两点P1(3,2)，P2(－8,3)，点P，且＝λ，则λ＝________，y＝________. 解析　∵＝＝， ＝＝， 且＝λ， ∴＝λ， ∴解得 答案　　 13．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1,3)，B(2，－2)，C(4，－1)． (1)若＝，求点D的坐标； (2)设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值． 解析　(1)设D(x，y)， 由＝，得(2，－2)－(1,3)＝(x，y)－(4，－1)， 即(1，－5)＝(x－4，y＋1)， 所以解得 所以点D的坐标为(5，－6)． (2)因为a＝＝(2，－2)－(1,3)＝(1，－5)， b＝＝(4，－1)－(2，－2)＝(2,1)， 所以ka－b＝k(1，－5)－(2,1)＝(k－2，－5k－1)， a＋3b＝(1，－5)＋3(2,1)＝(7，－2)． 由ka－b与a＋3b平行， 得(k－2)×(－2)－(－5k－1)×7＝0. 所以k＝－. [学科素养·探索创新] 14．如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，则直线AC与BD的交点P的坐标为________． 解析　设P(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(5,4)，＝(－3,6)，＝(4,0)． 由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ)． 又因为＝－＝(5λ－4,4λ)， 由与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0. 解得λ＝，所以＝(x－1，y)＝， 所以x＝，y＝， 所以点P的坐标为. 答案　 15．直线l上有两点P1，P2，在l上取不同于P1，P2的任一点P，存在一个实数λ，使＝λ(λ≠－1)，λ叫做点P分有向线段所成的比．设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，点P分有向线段所成的比为λ(λ≠－1)，求点P的坐标． 解析　设P(x，y)， 则＝(x－x1，y－y1)，＝(x2－x，y2－y)， 由＝λ， 得(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)， 于是 因为λ≠－1， 所以 所以点P的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$