6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示&6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则2＋的坐标是(　　) A．(1，－2)　　　　　　　 B．(7,6) C．(5,0) D．(11,8) 解析　因为＝(4,2)，＝(3,4)， 所以2＋＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)． 答案　D 2．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(　　) A. B. C．(－8,1) D．(8,1) 解析　＝－＝(－5，－1)－(3，－2) ＝(－8,1)． 答案　C 3．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为(　　) A．(－7,0) B．(7,6) C．(6,7) D．(7，－6) 解析　设D(x，y)，因为＝， 所以(x－5，y＋1)＝(2，－5)， 所以x＝7，y＝－6. 所在D(7，－6)． 答案　D 4．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，若＋＝0，则点C的坐标是(　　) A．(1,5) B．(－3,4) C．(－1，－5) D．(4，－3) 解析　设C(x，y)，则＝(x－4，y－1)． 又＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)， ＋＝0， ∴(3，－4)＋(x－4，y－1)＝(0,0)， ∴∴∴C(1,5)． 答案　A 5．已知A(2,0)，a＝(x＋3，x－3y－5)，若a＝，其中O为原点，则x＝________，y＝________. 解析　由题意知解得 答案　－1　－2 6．已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则＋的坐标是________． 解析　＋＝(－8－2,10－(－4))＋(－8－0，10－6)＝(－10,14)＋(－8,4)＝(－18,18)． 答案　(－18,18) 7．如图，在▱ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________. 解析　＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)， ＝＋＝－＝(－1，－1)－(2,4) ＝(－3，－5)． 答案　(－3，－5) 8．已知长方形ABCD的长为4、宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求和的坐标． 解析　由长方形ABCD知，CB⊥x轴，CD⊥y轴， 因为AB＝4，AD＝3， 所以＝4i＋3j， 所以＝(4,3)． 又＝＋＝－＋， 所以＝－4i＋3j， 所以＝(－4,3)． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)给出下面几种说法，正确的有(　　) A．相等向量的坐标相同 B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C．一个坐标对应于唯一的一个向量 D．平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应 解析　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误． 答案　ABD 10．在平面直角坐标系中，点P，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量，则点Q的坐标是(　　) A. B. C. D. 解析　由P，得P， ∵将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量， ∴Q， ∵cos＝－sin＝－， sin＝cos＝， ∴Q.故选D. 答案　D 11．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝2，∠xOA＝150°，则向量的坐标为________． 解析　过A分别作AM，AN垂直于x轴、y轴，垂足为M，N.易知AM＝1，AN＝， ∴A(－，1)，∴＝(－，1)． 答案　(－，1) 12．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)与相等，已知A(1，3)，B(2,4)，则x＝________. 解析　 ∵＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)， ∵＝a， ∴，解得x＝1. 答案　1 13．已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标． 解析　如图，正三角形ABC的边长为2， 则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°，2sin 60°)， ∴C(1，)，D， ∴＝(2,0)，＝(1，)， ＝(1－2，－0)＝(－1，)， ＝＝. [学科素养·探索创新] 14．小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则S△OAB＝|x1y2－x2y1|.试用上述成果解决问题：已知A(1,1)，B(2,3)，C(4,5)，则S△ABC＝________. 解析　因为A(1,1)，B(2,3)，C(4,5)， 所以＝(1,2)，＝(3,4)， 又当＝(x1，y1)，＝(x2，y2)时， S△OAB＝|x1y2－x2y1|， 所以S△ABC＝×|1×4－3×2|＝1. 答案　1 15．已知平面上三个点坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点． 解析　设点D的坐标为(x，y)， (1)当平行四边形为ABCD时，＝， ∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)， ∴∴ ∴D(0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC时，同(1)可得D(2，－3)； (3)当平行四边形为ADBC时，同(1)可得D(6,15)． 综上可知点D可能为(0，－1)或(2，－3)或(6,15). 学科网（北京）股份有限公司 $$